为什么震荡时没有“无穷大”：因为破坏了无穷大趋于路径的唯一性和单向性

前言

一般情况下，对于下面这些量是无穷大量，我们应该是没有疑问的：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \ln x & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow 0^{+} } \frac{1}{x} & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } x & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } \ln x & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } x^{2} & \rightarrow \infty \\ \\
& \lim_{ x \rightarrow + \infty } e^{x} & \rightarrow \infty
\end{aligned}
$$

但是，对于下面这些量是否是无穷大量，我们可能会有一些疑问，在本文中，荒原之梦考研数学将帮助大家解决这些疑问：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0 } \left( \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x} \right) & \rightarrow ? \\ \\
& \lim_{n \rightarrow \infty} (-1)^{n} (\sqrt{n}) & \rightarrow ?
\end{aligned}
$$

正文

我们知道，震荡无极限可以分为有界震荡无极限和无界震荡无极限。虽然无穷大量不是极限值，但是一般情况，“震荡”就意味着“不存在”无穷大，或者说不【趋于】无穷大——

这是因为，说一个量是无穷大量，必须要满足的首要条件就是，在某个位置之后，所有的数值都是非常非常大的数字，不能出现常数。

对于 $\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$, 当 $x \rightarrow 0$ 的时候，$\frac{1}{x^{2}}$ 会趋于无穷大，但是，$\sin \frac{1}{x}$ 则会在 $-1$ 到 $0$ 以及 $0$ 到 $1$ 之间不断做有界震荡，因此，$\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$ 的取值除了会有产生无穷大的情况，也会存在等于 $0$ 的情况（零乘以无穷大仍得零）。

因此，当 $x \rightarrow 0$ 的时候，$\frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x}$ 其实是无界震荡且非无穷大量，其函数图像如图 01 所示：

既然取值中有常数（非无穷大量）就不算无穷大量，那么，如果取值只在趋于正无穷和趋于负无穷两个方向上进行，又是否算是无穷大量呢？

虽然说，无论正无穷大还是负无穷大都可以称为“无穷大”，但上面一段所说的这种情况，也不能算是无穷大量。

因为无穷大事实上是要“趋于”的，而“趋于”就意味着在整个过程中，取值的“总体方向”不能发生变化，只能有一个“方向”——

“方向唯一且不能发生变化”不仅要求取值方向上不能出现常数，也要求不能出现相反方向的无穷大量。

例如，对于数列 $\{x_{n} \}$ $=$ $(-1)^{n} (\sqrt{n})$, 当 $n$ $=$ $1$, $2$, $3$. $\cdots$ 时，$x_{n}$ 的取值为：

$$
x_{n} = 1, \quad \sqrt{2}, \quad – \sqrt{3}, \quad \sqrt{4}, \quad – \sqrt{5}, \quad \cdots
$$

从上面的式子，我们可以看出，数列 $\{ x_{n} \}$ 的取值其实是在两个方向上反复变化的，一个方向上趋于 $+ \infty$, 另一个方向上趋于 $- \infty$, 此时，我们只能说数列 $\{ x_{n} \}$ 是一个无界数列，而不能说当 $x \rightarrow \infty$ 时，数列 $\{ x_{n} \}$ 是一个无穷大量。

数列 $\{ x_{n} \}$ 的取值示意图如图 02 所示：

如果要用图示的方式阐明荒原之梦考研数学的这篇笔记，那就是，只有如图 02 的这种形式算是趋向于无穷大量，而如图 03 和如图 04 所示的形式都不能算是趋向于无穷大量：

总结

总的来说，如果要趋于无穷大，就必须保证无穷大趋于路径的唯一性和单向性。由于无论是“震荡”（如上图 02）。还是同时趋于正无穷和负无穷（如上图 03），都破坏了趋于无穷大路径的唯一性和单向性，因此，下面这两个式子都不趋于无穷大：

$$
\begin{aligned}
& \lim_{ x \rightarrow 0 } \left( \frac{1}{x^{2}} \sin \frac{1}{x} \right) & \nRightarrow \infty \\ \\
& \lim_{n \rightarrow \infty} (-1)^{n} (\sqrt{n}) & \nRightarrow \infty
\end{aligned}
$$

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