2009 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

一、题目

当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时,$f(x)$ $=$ $x$ $-$ $\sin ax$ 与 $g(x)$ $=$ $x^{2}$ $\ln(1-bx)$ 是等价无穷小,则()

( A ) $a$ $=$ $1$, $b$ $=$ $-$ $\frac{1}{6}$.

( B ) $a$ $=$ $1$, $b$ $=$ $\frac{1}{6}$.

( C ) $a$ $=$ $-1$, $b$ $=$ $-\frac{1}{6}$.

( D ) $a$ $=$ $-1$, $b$ $=$ $\frac{1}{6}$.

二、解析

由于 $f(x)$ 和 $g(x)$ 是等价无穷小,因此,根据“无穷小的比较”中关于等价无穷小的定理:

设 $\lim$ $\alpha(x)$ $=$ $0$, $\lim$ $\beta(x)$ $=$ $0$,
若 $\lim$ $\frac{\alpha (x)}{\beta (x)}$ $=$ $1$, 则 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 是等价无穷小,记为 $\alpha(x)$ $\sim \beta(x)$.

因此,我们有:

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\lim_{x\rightarrow 0}$ $\frac{x-\sin ax}{x^{2}\ln(1-bx)}$ $=$ $1$.

在“常用的等价无穷小”中,同时和 $\sin x$ 与 $x$ 有关的等价无穷小两个,如下:

$\sin x$ $\sim x$;

$x$ $-$ $\sin x$ $\sim$ $\frac{1}{6}x^{3}$.

同时和 $\ln x$ 与 $x$ 有关的等价无穷小也有两个,如下:

$\ln(1+x)$ $\sim x$;

$x$ $-$ $\ln(1+x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}x^{2}$.

那么,我们现在需要考虑的问题就是:需要组合使用哪两个等价无穷小化简原式?

这里选择并确定使用哪两个等价无穷小的依据就是题目中给出的“等价无穷小”。也就是说,在对原式进行化简运算的过程中,必须保证分子分母互为等价无穷小,每一步都要遵守这个原则,最后化简出来的结果中分子分母也必须互为等价无穷小,只有这样才可以和原式划等号。

由前面的计算我们知道,原式的分子是:

$x$ $-$ $\sin ax$

原式的分母是:

$x^{2}$ $\ln(1-bx)$

于是,分子的有效化简形式有以下四种:

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $x$ $-$ $ax$ (1)

或者:

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $\sin x$ $-$ $\sin ax$ (2)

或者:

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $x$ $-$ $[ax$ $-$ $\frac{1}{6}$ $(ax)^{3}]$ $=$ $x$ $-$ $ax$ $+$ $\frac{1}{6}$ $a^{3}$ $x^{3}$ (3)

或者:

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $\frac{1}{6}x^{3}$ $+$ $\sin x$ $-$ $\sin ax$ (4)

分母的有效化简形式有以下两种:

$x^{2}$ $\ln(1-bx)$ $=$ $x^{2}$ $(-bx)$ $=$ $-bx^{3}$ (5)

或者:

$x^{2}$ $\ln(1-bx)$ $=$ $x^{2}$ $[(-bx)$ $-$ $\frac{1}{2}$ $(-bx)^{2}]$ $=$ $-bx^{3}$ $-$ $\frac{1}{2}$ $b^{2}$ $x^{4}$ (6)

由于要保证每一步计算过程中分子分母都是等价无穷小,因此,我们首先要看看那些式子组合起来可以形成等价无穷小。

(1) 到 (6) 六个式子中变量 $x$ 的次方数情况如下:

(1): 只包含 $1$ 次方;

(2): 只包含 $1$ 次方;

(3): 包含 $1$ 次方和 $3$ 次方;

(4): 包含 $1$ 次方和 $3$ 次方;

(5): 只包含 $3$ 次方;

(6): 包含 $3$ 次方和 $4$ 次方。

由于分母对应的 (5) 和 (6) 两个式子都包含 $3$ 次方,分子对应的 (1) 式和 (2) 式无论如何变化也不会出现 $3$ 次方,无法与分母构成等价无穷小,因此排除。此外,(4) 式有 $\sin x$ 和 $\sin ax$, 而分母中并没有对应的形式,因此 (4) 式被基本排除。

现在就剩下分子对应的 (3) 式和分母对应的 (5) 式和 (6) 式了。由于 (6) 式中含有 $x$ 的 4 次方,而 (3) 式无论如何变化也不会出现 4 次方,因此,正确的化简过程应该在 (3) 式和 (5) 式中产生。

基于以上分析,尝试化简如下:

原式 $=$ $\lim_{x\rightarrow 0}$ $\frac{x-ax+\frac{1}{6}a^{3}x^{3}}{-bx^{3}}$ $=$ $\lim_{x\rightarrow0}$ $\frac{(1-a)x+\frac{1}{6}a^{3}x^{3}}{-bx^{3}}$

分母中没有 $1$ 次方,因此,为了保证“分子分母互为等价无穷小”这个条件始终成立,唯一的办法就是令 $1$ $-$ $a$ $=0$, 接下来,根据 $f(x)$ $\sim$ $g(x)$ 所得的分子分母的对应关系,我们可以得到:

$\frac{1}{6}a^{3}$ $=$ $-b$

两式联立:

$\left\{\begin{matrix}1-a=0,\\ \frac{1}{6}a^{3}=-b.\end{matrix}\right.$

解得:

$\left\{\begin{matrix} a=1,\\ b=-\frac{1}{6}.\end{matrix}\right.$

综上可知,本题的正确选项是:$A$


通过本题,我们可以总结出使用等价无穷小化简原式过程中的以下规律:

  • 注意原式分子分母的无穷小类型(等价,高阶,低阶,同阶,$K$ 阶),计算过程中要以始终保持一致的无穷小类型为所有计算的前提;
  • 使用常见等价无穷小化简的时候一般都是由繁化简,即化简的趋势都是使式子中尽可能只出现 $x$, 例如将 $\sin x$ 化为 $x$, 将 $\ln(1+x)$ 化为 $x$ 等。
  • 此外,把式子中的一部分化为和另一部分相同类型的形式更有可能简化运算,例如在本题中,分母是 $x^{2}$ $\ln(1-bx)$, 则把 $\ln(1-bx)$ 化为 $-bx$ 显然会让式子在形式上更统一,更有利于后面的计算;
  • 化简过程要严格按照公式进行,特别要注意负号和变量前面的参数,必要时要先加上括号维持原来的形式,之后一步步计算。