# 2009 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

## 一、题目

( A ) $a$ $=$ $1$, $b$ $=$ $-$ $\frac{1}{6}$.

( B ) $a$ $=$ $1$, $b$ $=$ $\frac{1}{6}$.

( C ) $a$ $=$ $-1$, $b$ $=$ $-\frac{1}{6}$.

( D ) $a$ $=$ $-1$, $b$ $=$ $\frac{1}{6}$.

## 二、解析

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\lim_{x\rightarrow 0}$ $\frac{x-\sin ax}{x^{2}\ln(1-bx)}$ $=$ $1$.

$\sin x$ $\sim x$;

$x$ $-$ $\sin x$ $\sim$ $\frac{1}{6}x^{3}$.

$\ln(1+x)$ $\sim x$;

$x$ $-$ $\ln(1+x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}x^{2}$.

$x$ $-$ $\sin ax$

$x^{2}$ $\ln(1-bx)$

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $x$ $-$ $ax$ (1)

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $\sin x$ $-$ $\sin ax$ (2)

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $x$ $-$ $[ax$ $-$ $\frac{1}{6}$ $(ax)^{3}]$ $=$ $x$ $-$ $ax$ $+$ $\frac{1}{6}$ $a^{3}$ $x^{3}$ (3)

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $\frac{1}{6}x^{3}$ $+$ $\sin x$ $-$ $\sin ax$ (4)

$x^{2}$ $\ln(1-bx)$ $=$ $x^{2}$ $(-bx)$ $=$ $-bx^{3}$ (5)

$x^{2}$ $\ln(1-bx)$ $=$ $x^{2}$ $[(-bx)$ $-$ $\frac{1}{2}$ $(-bx)^{2}]$ $=$ $-bx^{3}$ $-$ $\frac{1}{2}$ $b^{2}$ $x^{4}$ (6)

(1) 到 (6) 六个式子中变量 $x$ 的次方数情况如下：

(1): 只包含 $1$ 次方；

(2): 只包含 $1$ 次方；

(3): 包含 $1$ 次方和 $3$ 次方；

(4): 包含 $1$ 次方和 $3$ 次方；

(5): 只包含 $3$ 次方；

(6): 包含 $3$ 次方和 $4$ 次方。

$\frac{1}{6}a^{3}$ $=$ $-b$

$\left\{\begin{matrix}1-a=0,\\ \frac{1}{6}a^{3}=-b.\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a=1,\\ b=-\frac{1}{6}.\end{matrix}\right.$

• 注意原式分子分母的无穷小类型（等价，高阶，低阶，同阶，$K$ 阶），计算过程中要以始终保持一致的无穷小类型为所有计算的前提；
• 使用常见等价无穷小化简的时候一般都是由繁化简，即化简的趋势都是使式子中尽可能只出现 $x$, 例如将 $\sin x$ 化为 $x$, 将 $\ln(1+x)$ 化为 $x$ 等。
• 此外，把式子中的一部分化为和另一部分相同类型的形式更有可能简化运算，例如在本题中，分母是 $x^{2}$ $\ln(1-bx)$, 则把 $\ln(1-bx)$ 化为 $-bx$ 显然会让式子在形式上更统一，更有利于后面的计算；
• 化简过程要严格按照公式进行，特别要注意负号和变量前面的参数，必要时要先加上括号维持原来的形式，之后一步步计算。