2024年考研数二第07题解析:积分敛散性的判别

一、题目题目 - 荒原之梦

设非负函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续, 给出以下三个命题:

(1)若 $\int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{~d} x$ 收敛, 则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x$ 收敛.

(2)若存在 $p>1$, 使得 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)$ 存在, 则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x$ 收敛.

(3)若 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x$ 收敛, 则存在 $p>1$, 使得 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)$ 存在.

其中真命题个数为( )

(A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

第 (1) 项

已知,当 $a>0$ 时,有:

$$
\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x \ \begin{cases}
收敛, & p>1 \\
发散, & p \leqslant 1
\end{cases}
$$

所以,若令:

$$
f(x)=\frac{1}{x}
$$

则,下式收敛:

$$
\int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x
$$

但是,下式发散:

$$
\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x
$$

所以第(1)项错误。

第 (2) 项

与上面的判断方式相同,由于当 $p>1$ 时,下式收敛:

$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x
$$

若此时 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)$ 存在, 则说明:

$$
\begin{aligned}
& \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x) = A \Rightarrow \\
& \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x) = \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{A}{x^{p}}
\end{aligned}
$$

因此:

$$
\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x = \int_{0}^{+\infty} \frac{A}{x^{p}} \mathrm{~d} x = A \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x
$$

由于 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 收敛,所以下式一定收敛:

$$
\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x
$$

于是可知,第 (2) 项正确。

第 (3) 项

很明显,第 (3) 项就是第 (2) 项的反命题,由于第 (2) 项正确,所以第 (3) 项很可能不正确。

进一步,分析可知,若要证明 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)$ 存在,则要证明下式收敛:

$$
\int_{0}^{+\infty} x^{p} f(x) \mathrm{~d} x
$$

但是,由 $\int_{0}^{+ \infty} f(x) \mathrm{~d} x$ 收敛,我们只能得出极限 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在这一结论。

同时,当 $p>1$ 时,$x^{2} f(x) \geqslant f(x)$, 因此,根据积分收敛的比较定理,此时无法判断 $\int_{0}^{+\infty} x^{p} f(x) \mathrm{~d} x$ 是否收敛,也就无法判断极限 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)$ 是否存在。

因此,第 (3) 项错误。

此外,我们还可以通过特例进行判断。

若令:

$$
f(x)=\frac{1}{(x+1) \ln ^{2}(x+1)}
$$

则,下式收敛:

$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x \\ \\
& = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(x+1) \ln ^{2}(x+1)} \mathrm{d} x \\ \\
& = – \int_{0}^{+\infty} 1 \mathrm{d} \left[ \frac{1}{\ln (x+1)} \right] \\ \\
& = -\left.\frac{1}{\ln (x+1)}\right|_{0} ^{+\infty} \\ \\
& = \ln 2
\end{aligned}
$$

但是,对于任意的 $p>1$, 下面的极限不存在:

$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x) \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} \frac{1}{(x+2) \ln ^{2}(x+2)} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{p}}{x \ln ^{2} x }
\end{aligned}
$$

由于 $\ln x$ 与远小于 $x$, 则 $\ln^{2} x$ 也远小于 $x^{2}$, 即 $x \ln^{2} x$ 远小于 $x^{3}$, 因此,对于任意的 $p>1$, 我们不能保证极限 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{p}}{x \ln ^{2} x }$ 一定存在,因此,极限 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)$ 也不一定存在。

所以第 (3) 项错误。

综上可知,本题应选 B .


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