一、题目
设非负函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续, 给出以下三个命题：
(1)若 $\int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{~d} x$ 收敛, 则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x$ 收敛.
(2)若存在 $p>1$, 使得 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)$ 存在, 则 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x$ 收敛.
(3)若 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x$ 收敛, 则存在 $p>1$, 使得 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)$ 存在.
其中真命题个数为（ ）
(A) 0
(B) 1
(C) 2
(D) 3
难度评级：
二、解析 
第 (1) 项
已知，当 $a>0$ 时，有：
$$
\int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x \ \begin{cases}
收敛, & p>1 \\
发散, & p \leqslant 1
\end{cases}
$$
所以，若令：
$$
f(x)=\frac{1}{x}
$$
则，下式收敛：
$$
\int_{0}^{+\infty} f^{2}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x
$$
但是，下式发散：
$$
\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x
$$
所以第（1）项错误。
第 (2) 项
与上面的判断方式相同，由于当 $p>1$ 时，下式收敛：
$$
\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x
$$
若此时 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)$ 存在, 则说明：
$$
\begin{aligned}
& \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x) = A \Rightarrow \\
& \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x) = \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{A}{x^{p}}
\end{aligned}
$$
因此：
$$
\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x = \int_{0}^{+\infty} \frac{A}{x^{p}} \mathrm{~d} x = A \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x
$$
由于 $\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 收敛，所以下式一定收敛：
$$
\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{~d} x
$$
于是可知，第 (2) 项正确。
第 (3) 项
很明显，第 (3) 项就是第 (2) 项的反命题，由于第 (2) 项正确，所以第 (3) 项很可能不正确。
进一步，分析可知，若要证明 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)$ 存在，则要证明下式收敛：
$$
\int_{0}^{+\infty} x^{p} f(x) \mathrm{~d} x
$$
但是，由 $\int_{0}^{+ \infty} f(x) \mathrm{~d} x$ 收敛，我们只能得出极限 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在这一结论。
同时，当 $p>1$ 时，$x^{2} f(x) \geqslant f(x)$, 因此，根据积分收敛的比较定理，此时无法判断 $\int_{0}^{+\infty} x^{p} f(x) \mathrm{~d} x$ 是否收敛，也就无法判断极限 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)$ 是否存在。
因此，第 (3) 项错误。
此外，我们还可以通过特例进行判断。
若令：
$$
f(x)=\frac{1}{(x+1) \ln ^{2}(x+1)}
$$
则，下式收敛：
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x \\ \\
& = \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(x+1) \ln ^{2}(x+1)} \mathrm{d} x \\ \\
& = – \int_{0}^{+\infty} 1 \mathrm{d} \left[ \frac{1}{\ln (x+1)} \right] \\ \\
& = -\left.\frac{1}{\ln (x+1)}\right|_{0} ^{+\infty} \\ \\
& = \ln 2
\end{aligned}
$$
但是，对于任意的 $p>1$, 下面的极限不存在：
$$
\begin{aligned}
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x) \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} \frac{1}{(x+2) \ln ^{2}(x+2)} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{p}}{x \ln ^{2} x }
\end{aligned}
$$
由于 $\ln x$ 与远小于 $x$, 则 $\ln^{2} x$ 也远小于 $x^{2}$, 即 $x \ln^{2} x$ 远小于 $x^{3}$, 因此，对于任意的 $p>1$, 我们不能保证极限 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{p}}{x \ln ^{2} x }$ 一定存在，因此，极限 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} x^{p} f(x)$ 也不一定存在。
所以第 (3) 项错误。
综上可知，本题应选 B .