2008 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

设函数 [latex]f(x)=\int_{0}^{x^{2}}\ln(2+t)dt[/latex], 则 [latex]f'(x)[/latex] 的零点个数()

( A ) [latex]0.[/latex]

( B ) [latex]1.[/latex]

( C ) [latex]2.[/latex]

( D ) [latex]3.[/latex]

解析

本题可以使用积分和导数的相关定理解出。

涉及到的积分知识如下:

(1) 定积分基本性质

[latex]\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt;[/latex]

(2) 变上限积分函数求导

  • 若 [latex]f(x)[/latex] 在 [latex][a,b][/latex] 上连续,则 [latex]F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt[/latex] 在 [latex][a,b][/latex] 上可导,且 [latex]F'(x)=f(x)[/latex].
  • 若 [latex]f(x)[/latex] 在 [latex][a,b][/latex] 上连续,[latex]\phi(x)[/latex] 在 [latex][a,b][/latex] 上可导,设[latex]F(x)=\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt[/latex], 则:

[latex]F'(x)=f[\phi(x)]\cdot\phi'(x).[/latex]

涉及到的求导知识如下:

[latex] (x^{a})’=ax^{a-1};[/latex]

此外,我们需要知道的是,“函数零点”指的是 [latex]f(x)=0[/latex] 时,对应的自变量 [latex]x[/latex] 的数值,“函数零点” 不是一个点,而是一个数值。

解题思路如下:

根据变上限积分函数求导法则,有:

[latex]f'(x)=\ln(2+x^{2})\cdot(x^{2})’=2x\ln(2+x^{2}).[/latex]

则要求函数 [latex]f'(x)[/latex] 的零点的个数,就是求 [latex]2x\ln(2+x^{2})=0[/latex] 的解的个数。

要使 [latex]2x\ln(2+x^{2})=0[/latex] 成立,则有以下三种情况(分情况讨论时要注意“不重不漏”):

(1) [latex]2x=0 且 \ln(2+x^{2})\neq0[/latex]

此时解出 [latex]x=0[/latex].

(2) [latex]2x\neq0 且 \ln(2+x^{2})=0[/latex]

无解。

由于 [latex]1+x^{2}\geq2[/latex] 始终成立,而且当 [latex]x=1[/latex] 时,[latex]\ln(x)=0[/latex], 当 [latex]x>1[/latex] 时,[latex]\ln(x)>0[/latex].

所以,[latex]\ln(2+x^{2})>0[/latex] 始终成立,与 [latex]x[/latex] 轴没有交点。

(3) [latex]2x=0 且 \ln(2+x^{2})=0[/latex]

[latex]2x=\ln(2+x^{2})=0 \Rightarrow 无解.[/latex]

综上可知,当 [latex]2x\ln(2+x^{2})=0[/latex] 时,有:

[latex]x=0.[/latex]

因此,只有一个零点,答案是:B

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