题目
设函数 f(x)=\int_{0}^{x^{2}}\ln(2+t)dt, 则 f'(x) 的零点个数（）
( A ) 0.
( B ) 1.
( C ) 2.
( D ) 3.
解析
本题可以使用积分和导数的相关定理解出。
涉及到的积分知识如下：
(1) 定积分基本性质
\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt;(2) 变上限积分函数求导
- 若 f(x) 在 [a,b] 上连续，则 F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt 在 [a,b] 上可导，且 F'(x)=f(x).
- 若 f(x) 在 [a,b] 上连续，\phi(x) 在 [a,b] 上可导，设F(x)=\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt, 则：
涉及到的求导知识如下：
(x^{a})'=ax^{a-1};此外，我们需要知道的是，“函数零点”指的是 f(x)=0 时，对应的自变量 x 的数值，“函数零点” 不是一个点，而是一个数值。
解题思路如下：
根据变上限积分函数求导法则，有：
f'(x)=\ln(2+x^{2})\cdot(x^{2})'=2x\ln(2+x^{2}).则要求函数 f'(x) 的零点的个数，就是求 2x\ln(2+x^{2})=0 的解的个数。
要使 2x\ln(2+x^{2})=0 成立，则有以下三种情况（分情况讨论时要注意“不重不漏”）：
(1) 2x=0 且 \ln(2+x^{2})\neq0
此时解出 x=0.
(2) 2x\neq0 且 \ln(2+x^{2})=0
无解。
由于 1+x^{2}\geq2 始终成立，而且当 x=1 时，\ln(x)=0, 当 x>1 时，\ln(x)>0.
所以，\ln(2+x^{2})>0 始终成立，与 x 轴没有交点。
(3) 2x=0 且 \ln(2+x^{2})=0
2x=\ln(2+x^{2})=0 \Rightarrow 无解.综上可知，当 2x\ln(2+x^{2})=0 时，有：
x=0.因此，只有一个零点，答案是：B
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