2008 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

设函数 f(x)=\int_{0}^{x^{2}}\ln(2+t)dt, 则 f'(x) 的零点个数()

( A ) 0.

( B ) 1.

( C ) 2.

( D ) 3.

解析

本题可以使用积分和导数的相关定理解出。

涉及到的积分知识如下:

(1) 定积分基本性质

\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt;

(2) 变上限积分函数求导

  • f(x)[a,b] 上连续,则 F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt[a,b] 上可导,且 F'(x)=f(x).
  • f(x)[a,b] 上连续,\phi(x)[a,b] 上可导,设F(x)=\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt, 则:
F'(x)=f[\phi(x)]\cdot\phi'(x).

涉及到的求导知识如下:

(x^{a})'=ax^{a-1};

此外,我们需要知道的是,“函数零点”指的是 f(x)=0 时,对应的自变量 x 的数值,“函数零点” 不是一个点,而是一个数值。

解题思路如下:

根据变上限积分函数求导法则,有:

f'(x)=\ln(2+x^{2})\cdot(x^{2})'=2x\ln(2+x^{2}).

则要求函数 f'(x) 的零点的个数,就是求 2x\ln(2+x^{2})=0 的解的个数。

要使 2x\ln(2+x^{2})=0 成立,则有以下三种情况(分情况讨论时要注意“不重不漏”):

(1) 2x=0 且 \ln(2+x^{2})\neq0

此时解出 x=0.

(2) 2x\neq0 且 \ln(2+x^{2})=0

无解。

由于 1+x^{2}\geq2 始终成立,而且当 x=1 时,\ln(x)=0, 当 x>1 时,\ln(x)>0.

所以,\ln(2+x^{2})>0 始终成立,与 x 轴没有交点。

(3) 2x=0 且 \ln(2+x^{2})=0

2x=\ln(2+x^{2})=0 \Rightarrow 无解.

综上可知,当 2x\ln(2+x^{2})=0 时,有:

x=0.

因此,只有一个零点,答案是:B

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