题目
设函数 [latex]f(x)=\int_{0}^{x^{2}}\ln(2+t)dt[/latex], 则 [latex]f'(x)[/latex] 的零点个数（）
( A ) [latex]0.[/latex]
( B ) [latex]1.[/latex]
( C ) [latex]2.[/latex]
( D ) [latex]3.[/latex]
解析
本题可以使用积分和导数的相关定理解出。
涉及到的积分知识如下：
(1) 定积分基本性质
[latex]\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt;[/latex]
(2) 变上限积分函数求导
- 若 [latex]f(x)[/latex] 在 [latex][a,b][/latex] 上连续，则 [latex]F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt[/latex] 在 [latex][a,b][/latex] 上可导，且 [latex]F'(x)=f(x)[/latex].
- 若 [latex]f(x)[/latex] 在 [latex][a,b][/latex] 上连续，[latex]\phi(x)[/latex] 在 [latex][a,b][/latex] 上可导，设[latex]F(x)=\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt[/latex], 则：
[latex]F'(x)=f[\phi(x)]\cdot\phi'(x).[/latex]
涉及到的求导知识如下：
[latex] (x^{a})’=ax^{a-1};[/latex]
此外，我们需要知道的是，“函数零点”指的是 [latex]f(x)=0[/latex] 时，对应的自变量 [latex]x[/latex] 的数值，“函数零点” 不是一个点，而是一个数值。
解题思路如下：
根据变上限积分函数求导法则，有：
[latex]f'(x)=\ln(2+x^{2})\cdot(x^{2})’=2x\ln(2+x^{2}).[/latex]
则要求函数 [latex]f'(x)[/latex] 的零点的个数，就是求 [latex]2x\ln(2+x^{2})=0[/latex] 的解的个数。
要使 [latex]2x\ln(2+x^{2})=0[/latex] 成立，则有以下三种情况（分情况讨论时要注意“不重不漏”）：
(1) [latex]2x=0 且 \ln(2+x^{2})\neq0[/latex]
此时解出 [latex]x=0[/latex].
(2) [latex]2x\neq0 且 \ln(2+x^{2})=0[/latex]
无解。
由于 [latex]1+x^{2}\geq2[/latex] 始终成立，而且当 [latex]x=1[/latex] 时，[latex]\ln(x)=0[/latex], 当 [latex]x>1[/latex] 时，[latex]\ln(x)>0[/latex].
所以，[latex]\ln(2+x^{2})>0[/latex] 始终成立，与 [latex]x[/latex] 轴没有交点。
(3) [latex]2x=0 且 \ln(2+x^{2})=0[/latex]
[latex]2x=\ln(2+x^{2})=0 \Rightarrow 无解.[/latex]
综上可知，当 [latex]2x\ln(2+x^{2})=0[/latex] 时，有：
[latex]x=0.[/latex]
因此，只有一个零点，答案是：B
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