表达形式上不相同的导数值不一定不相等

一、题目

已知 $f(x)=|x-a| g(x)$, 其中函数 $g(x)$ 连续，请讨论一阶导函数 $f^{\prime}(a)$ 的存在性。

难度评级：

二、解析

根据一点处导数的定义，当 $x \rightarrow a^{-}$ 时，有：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{ f^{\prime}(a^{-}) } \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow a^{-}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow a^{-}} \frac{|x-a| g(x)}{x-a} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow a^{-}} \frac{-(x-a) g(x)}{x-a} \\ \\
& = -\lim \limits_{x \rightarrow a^{-}} g(x) \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ – \ g(a) }
\end{aligned}
$$

同理，当 $x \rightarrow a^{+}$ 时，有：

$$
\begin{aligned}
\textcolor{springgreen}{ f^{\prime}(a^{+}) } \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow a^{+}} \frac{|x-a| g(x)}{x-a} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow a^{+}} \frac{+(x-a) g(x)}{x-a} \\ \\
& = \lim \limits_{x \rightarrow a^{+}} g(x) \\ \\
& = \textcolor{springgreen}{ g(a) }
\end{aligned}
$$

接下来是本题的重点内容。

虽然，$f^{\prime}(a^{-})$ 和 $f^{\prime}(a^{+})$ 的表达形式不相同：

$$
\begin{cases}
f^{\prime}(a^{-}) = \textcolor{yellow}{ – \ g(a) } \\
f^{\prime}(a^{+}) = \textcolor{yellow}{ g(a) }
\end{cases}
$$

但是，这并不意味着 $f^{\prime}(a^{-})$ 和 $f^{\prime}(a^{+})$ 一定不相等，因为可能存在 $f^{\prime}(a^{-})$ $=$ $f^{\prime}(a^{+})$ $=$ $0$ 这种情况。

接下来需要进行分类讨论。

因此，当 $\textcolor{orangered}{ g(a) = 0 }$ 时：

$$
g(a) = – g(a) = 0 \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(a^{-}) = f^{\prime}(a^{+})
$$

此时，$f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，且 $f^{\prime}(a)=0$.

同理，当 $\textcolor{orangered}{ g(a) \neq 0 }$ 时：

$$
g(a) \neq – g(a) \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(a^{-}) \neq f^{\prime}(a^{+})
$$

此时，$f(x)$ 在 $x=a$ 处不可导。

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