在无穷小的环境中，只有次幂最低的起作用

一、题目

已知 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)(5 x+1)+a x+b}{x+x^{2}}$ $=$ $16$, 则 $a = ?$, $b = ?$

难度评级：

首先，由于原式极限存在，且分母极限为 $0$, 因此，整个式子必须是 $\textcolor{orangered}{\boldsymbol{\frac{0}{0}}}$ 型的，即，该式子分子的极限也等于 $0$:

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)(5 x+1)+a x+b}{x+x^{2}}=16 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(x+1)(2 x+1)(3 x+1)(4 x+1)(5 x+1)+a x+b}{x}=16 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1+0+b}{0}=16 \Rightarrow b+1=0 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
b=-1
}
$$

在 $b = -1$ 的情况下，可以将分子中产生的常数抵消为 $0$, 又由于在 $x \rightarrow 0$ 的时候，只有次幂最低的项才会真正发挥作用，且在原式中，$x$ 的次幂最低为 $1$.

因此，我们只需要考虑分子中能产生的次幂为 $1$ 的 $x$ 即可：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{x+2 x+3 x+4 x+5 x+a x}{x}=16 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{(15+a) x}{x}=16 \Rightarrow
$$

$$
\textcolor{springgreen}{
a=1
}
$$

综上可知：

$$
\begin{cases}
& a = 1 \\
& b = -1
\end{cases}
$$