低阶无穷小乘以高阶无穷大等于无穷大，高阶无穷小乘以低阶无穷大等于 0，同阶无穷小和无穷大相乘等于 1

一、题目

已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\mathrm{e}^{\frac{1}{x^{2}-1}}, & |x|<1 \\ x^{4}-b x^{2}+c, & |x| \geqslant 1\end{array}\right.$ 可导，则 $(b, c)=?$

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二、解析

当 $|x| \neq 1$ 时显然可导，因此，只需要判断 $x=1$ 和 $x=-1$ 时的可导性即可。

又因为，函数中只存在 $x^{2}$ 和 $x^{4}$, 因此 $f(x)$ 一定是定义在 $(- \infty, + \infty)$ 上的偶函数，于是，我们只考虑 $x=1$ 处的连续性和可导性即可。

由于可导则原函数必连续，因此：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}} e^{\frac{1}{x^{2}-1}}=e^{-\infty}=0 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 1^{-}}\left(x^{2}-b x^{2}+c\right)=
$$

$$
1-b+c=0 \tag{1}
$$

根据《间断点只是一点处的情况，并不能决定一个函数是否是偶函数》这篇文章可知，当 $x \rightarrow 1^{+}$ 时会产生无穷大，无法用于具体数值计算，因此本题不予考虑。

导函数也必须连续，因此：

$$
\left(e^{\frac{1}{x^{2}-1}}\right)_{x}^{\prime}=\frac{-2 x}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} e^{\frac{1}{x^{2}-1}} \Rightarrow
$$

$$
t=\frac{1}{x^{2}-1} \Rightarrow \frac{-2}{\left(x^{2}-1\right)^{2}} e^{\frac{1}{x^{2}-1}}=-2 \lim \limits_{t \rightarrow-\infty} t^{2} e^{t} = 0
$$

得出 $\lim \limits_{t \rightarrow-\infty} t^{2} e^{t} = 0$ 的依据在于，在第一象限，$y = e^{x}$ 的图象在 $y = x^{2}$ 图象的上方（如图 01 所示），这表明 $y = e^{x}$ 的增长速度大于 $y = x^{2}$, 反之，$y = e^{x}$ 的减少速度也快于 $y = x^{2}$——

当 $t \rightarrow – \infty$ 时，$e^{t}$ 能更快的抵消 $t^{2}$ 带来的增长，因此 $\lim \limits_{t \rightarrow-\infty} t^{2} e^{t} = 0$.

事实上，关于 $0 \cdot \infty$ 等于多少这个问题，我们可以大致分为以下三个方面进行讨论（约定 $x \rightarrow 0$）：

1. 低阶无穷小乘以高阶无穷大等于无穷大：$x \cdot \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{x} = \infty$
2. 高阶无穷小乘以低阶无穷大等于 0：$x^{2} \cdot \frac{1}{x} = x = 0$
3. 同阶无穷小和无穷大相乘等于 1：$x \cdot \frac{1}{x} = 1$

又，当 $x \rightarrow 1^{-}$ 时：

$$
(x^{2} – bx^{2} + c)^{\prime}_{x} = 4 – 2b = 0 \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& b = 2 \\
& c= 1
\end{cases}
$$

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