考研数学比较大小题目的解题思路：构造函数求极值

一、题目

设 $x \in(0,1)$, 证明: $(1+x) \ln ^{2}(1+x)<x^{2}$.

难度评级：

二、解析

构造函数：

$$
f(x)=(1+x) \ln ^{2}(1+x)-x^{2}
$$

于是：

$$
(1+x) \ln ^{2}(1+x)<x^{2} \Leftrightarrow f(x)<0
$$

进而：

$$
f^{\prime}(x)=
$$

$$
\ln ^{2}(1+x)+(1+x) \cdot 2[\ln (1+x)] \cdot \frac{1}{1+x} -2 x \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=\ln ^{2}(1+x)+2 \ln (1+x)-2 x
$$

继续：

$$
f^{\prime \prime}(x)=2[\ln (1+x)] \cdot \frac{1}{1+x}+\frac{2}{1+x}-2 \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime \prime}(x)=\frac{2}{1+x} \ln (1+x)+\frac{2}{1+x}-\frac{2(1+x)}{1+x} \Rightarrow
$$

因此，当 $x \in(0,1)$ 时，有：

$$
f^{\prime \prime}(x)=\frac{2}{1+x}[\ln (1+x)-x]<0
$$

又：

$$
f(0)=0 \quad f^{\prime}(0)=0 \quad f^{\prime \prime}(x)<0 \Rightarrow
$$

$$
f(x)<0 \Rightarrow
$$

$$
(1+x) \ln ^{2}(1+x)<x^{2}
$$

---