三角函数中的和差化积与积化和差公式也很重要

一、题目

$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x) \sin ^{2} x} = ?
$$

难度评级：

二、解析

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x) \sin ^{2} x}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{\frac{1}{2} x^{2} \cdot x^{2}}
$$

又（和差化积）：

$$
\cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}
$$

因此：

$$
\cos (\sin x)-\cos x=-2 \sin \frac{\sin x+x}{2} \sin \frac{\sin x-x}{2}
$$

当 $x \rightarrow 0$ 时，有：

$$
\cos (\sin x)-\cos x \sim
$$

$$
-2 \times \frac{\sin x+x}{2} \times \frac{\sin x-x}{2}=\frac{1}{2}(x+\sin x)(x-\sin x)
$$

于是：

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2}(x+\sin x)(x-\sin x)}{\frac{1}{2} x^{4}} \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} \cdot 2 x(x-\sin x)}{\frac{1}{2} x^{4}} \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2 x(x-\sin x)}{x^{4}} \Rightarrow
$$

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2(x-\sin x)}{x^{3}} \Rightarrow
$$

洛必达运算：

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2 \cdot(1-\cos x)}{3 x^{2}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{2 \cdot \frac{1}{2} x^{2}}{3 x^{2}}=\frac{1}{3}
$$

Tips:

$x – \sin x$ $\sim$ $\frac{1}{6}x^{3}$ $\Leftrightarrow$ 洛必达运算 $\Leftrightarrow$ $1 – \cos x$ $\sim$ $\frac{1}{2} x^{2}$

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