一、题目
已知，积分区域 $D=\{ (x, y) \mid 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant \mathrm{e}^{2} \}$, 则 $\iint_{D} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{~d} \sigma=?$
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二、解析 
根据题目，我们可以绘制出如图所示的积分区域示意图：
由于该积分区域关于直线 $y=x$ 对称，因此：
$$
I=\iint_{D} x^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{~ d} \sigma
$$
$$
K=\iint_{D} y^{2} \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{~ d} \sigma \Rightarrow
$$
$$
I=K \Rightarrow
$$
$$
I=\frac{1}{2}(I+K)=\frac{1}{2} \iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \ln \left(x^{2}+y^{2}\right) \cdot \mathrm{~ d} \sigma \Rightarrow
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta \\ d x d y=r \mathrm{~ d} r \mathrm{~ d} \theta\end{array} \right. \Rightarrow
$$
$$
\frac{1}{2} \iint_{D} r^{2} \ln \left(r^{2}\right) \cdot r \mathrm{~ d} r \mathrm{~ d} \theta =
$$
$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~ d} \theta \int_{1}^{e} r^{3} \ln \left(r^{2}\right) \mathrm{~ d} r=
$$
$$
\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} \mathrm{~ d} \theta \int_{1}^{e} r^{2} \ln \left(r^{2}\right) \mathrm{~ d} \left(r^{2}\right)=
$$
$$
\frac{1}{4} \int_{0}^{2 \pi}\left[\int_{1}^{e^{2}} t \ln (t) \mathrm{~ d} t\right] \mathrm{~ d} \theta=
$$
$$
\frac{1}{4}\left[\int_{1}^{e^{2}} t \ln t \mathrm{~ d} t\right] \cdot \int_{0}^{2 \pi} 1 \mathrm{~ d} \theta=
$$
$$
\frac{2 \pi}{4} \int_{1}^{e^{2}} t \ln t \mathrm{~ d} t=\frac{\pi}{2} \cdot \frac{1}{2} \int_{1}^{e^{2}} \ln t \mathrm{~ d} \left(t^{2}\right)=
$$
$$
\frac{\pi}{4}\left[\left.t^{2} \ln t\right|_{1} ^{e^{2}}-\int_{1}^{e^{2}} t \mathrm{~ d} t\right]=
$$
$$
\frac{\pi}{4}\left[e^{4} \ln e^{2}-0-\left.\frac{1}{2} t^{2}\right|_{1} ^{e^{2}}\right]=
$$
$$
\frac{\pi}{4}\left[2 e^{4}-\left(\frac{1}{2} e^{4}-\frac{1}{2}\right)\right]=
$$
$$
\frac{\pi}{4}\left(2 e^{4}-\frac{1}{2} e^{4}+\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{4}\left(\frac{3}{2} e^{4}+\frac{1}{2}\right) =
$$
$$
\frac{\pi}{8} (e^{4}+1)
$$
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