方程的根就是对应的函数的零点

一、题目

方程 $x^{2}-x \sin x-\cos x=0$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 内有没有根？如果有根的话，有几个根？

难度评级：

二、解析

方程 $x^{2}-x \sin x-\cos x=0$ 的根就是函数 $f(x)=x^{2}-x \sin x-\cos x$ 的零点，因此：

$$
f^{\prime}(x)=2 x-\sin x-x \cos x+\sin x \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(x)=x(2 – \cos x)
$$

由于函数 $f(x)$ 是一个偶函数，因此，我们可以先考虑其在 $[0, + \infty)$ 区间上的零点个数：

已知：

$$
f(0)=0-0-\cos 0=-1<0
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty>0
$$

又：

$$
x \in[0,+\infty) \Rightarrow f^{\prime}(x)>0
$$

因此，一定存在 $x_{1} \in[0,+\infty)$, $x_{1} \neq 0$ 使得下式成立：

$$
f\left(x_{1}\right)=0
$$

根据偶函数的性质，同理：

$$
x_{2} \in(-\infty, 0], x_{2} \neq 0 \Rightarrow f\left(x_{2}\right)=0
$$

综上可知，方程 $x^{2}-x \sin x-\cos x=0$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 内有 $2$ 个实根。

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