求解某行元素的代数余子式之和：千万不要傻傻的直接算哦

一、题目

已知，有四阶行列式 $D$ $=$ $\left|\begin{array}{cccc}1 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & -6 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & -1 & 2\end{array}\right|$, 则其第四行各元素代数余子式之和，即 $A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=?$

难度评级：

二、解析

设：

$$
A=\textcolor{orange}{ \left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & 2 \\ 0 & -6 & 0 & 0 \\ \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{1}\end{array}\right] }
$$

则：

$$
|A|=1 \cdot A_{41}+1 \cdot A_{42}+1 \cdot A_{43}+1 \cdot A_{44} \Rightarrow
$$

$$
|A|=A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44} \Rightarrow
$$

$$
|A|=(-1)^{3+2} \cdot(-6)\left|\begin{array}{ccc}1 & 4 & 0 \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| \Rightarrow
$$

$$
|A| = 6(-1+8-8-2)=-18 \Rightarrow
$$

$$
A_{41}+A_{42}+A_{43}+A_{44}=-18
$$

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