求解线性方程组进行矩阵化简运算时：每进行一次换行操作都要加一次负号

一、题目

已知 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,0,1)^{\mathrm{\top}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(2,1,1)^{\mathrm{\top}}$ 是方程组 $\left\{\begin{array}{l}
-x_{1}+a x_{2}+2 x_{3}=1 \\
x_{1}-x_{2}+a x_{3}=2 \\
5 x_{1}+b x_{2}-4 x_{3}=a
\end{array}\right.$ 的两个解，则此方程组的通解为（）

难度评级：

二、解析

一、常规解法

构建增广矩阵并化简：

$$
\left[\begin{array}{cccc}-1 & a & 2 & 1 \\ 1 & -1 & a & 2 \\ 5 & b & -4 & a\end{array}\right] \Rightarrow
$$

初等行变换：

$$
\left[\begin{array}{cccc}\textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{a-1} & \textcolor{yellow}{a+2} & \textcolor{yellow}{3} \\ \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{-1} & \textcolor{red}{a} & \textcolor{red}{2} \\ 0 & b+5 & -4-5 a & a-10\end{array}\right] \Rightarrow
$$

初等行变换（把第二行移动到第一行上，需要变号）：

$$
\left[\begin{array}{cccc} \textcolor{red}{-1} & \textcolor{red}{1} & \textcolor{red}{-a} & \textcolor{red}{-2} \\ \textcolor{yellow}{0} & \textcolor{yellow}{a-1} & \textcolor{yellow}{a+2} & \textcolor{yellow}{3} \\ 0 & b+5 & -4-5 a & a-10\end{array}\right] \Rightarrow
$$

于是，代入题目中的解 $\alpha_{1}$ 和 $\alpha_{2}$ 可得：

$$
\left\{\begin{array}{l}1+a=2 \Rightarrow a=1 \\ b+5-9=-9 \Rightarrow b=-5 .\end{array}\right.
$$

将 $a=1$ 和 $b=-5$ 代入原来的增广矩阵：

$$
\left[\begin{array}{cccc}-1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & -9 & -9\end{array}\right] \Rightarrow
$$

初等行变换：

$$
\left[\begin{array}{cccc}-1 & 1 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right] \Rightarrow
$$

初等行变换：

$$
\left[\begin{array}{cccc}-1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]. \quad \tag{1}
$$

于是可知，$x_{1}$ 和 $x_{3}$ 为非自由未知数，$x_{2}$ 为自由未知数。

接着，根据上面的矩阵 $(1)$ 求解齐次线性方程组的通解，令自由未知数 $x_{2} = 1$, 则：

$$
x_{2}=1 \Rightarrow x_{1}=1, x_{3}=0
$$

之后，仍然根据上面的矩阵 $(1)$ 求解非齐次线性方程组的特解，令自由未知数 $x_{2} = 0$, 则：

$$
x_{2}=0 \Rightarrow x_{1}=1, x_{3}=1
$$

于是可知，该非齐次线性方程组的通解为（齐通+非齐特）：

$$
x=k\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right).
$$

其中，$k$ 为任意常数。

二、快速解法

Tips:

在下文中，$A$ 表示系数矩阵，$\bar{A}$ 表示增广矩阵。

显然，本题中的线性方程组有解，因此：

$$
r(A) = r(\bar{A})
$$

又由该线性方程组存在两个线性无关的解可知：

$$
r(A) = r(\bar{A}) \leqslant 2.
$$

进一步，系数矩阵 $A$ 中存在 $\begin{vmatrix}
-1 & 2 \\
5 & -4
\end{vmatrix} \neq 0$ 的子式，因此：

$$
r(A) = r(\bar{A}) \geqslant 2.
$$

于是：

$$
r(A) = r(\bar{A}) = 2.
$$

即该线性方程组存在 $3-2=1$ 个自由未知数，也就是说其对应的齐次线性方程组的通解只有一种形式。

又，非齐次线性方程组的特解 $\alpha_{2} – \alpha_{1}$ $=$ $(1, 1, 0)^{\top}$ 对应的是齐次线性方程组的解，因此，由“非齐通 = 齐通 + 非齐特”可知：

$$
x = k (1,1,0)^{\top} + \alpha_{1} \Rightarrow
$$

$$
x = k (1,1,0)^{\top} + (1,0,1)^{\top}.
$$

其中，$k$ 为任意常数。

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