定点处的高阶导数：尝试泰勒公式（附常用麦克劳林公式的求和版写法）

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\frac{1}{1+2x+4x^2}$, 则 $f^{(100)}(0)=?$

难度评级：

二、解析

本题是求解某个确定的一点处的高阶导数，很适合使用泰勒公式。

首先，由于无法将 $1+2x+4x^2$ 分解成一阶因式相乘的形式，因此，我们只能考虑将分子“升阶”的方式实现分子分母之间阶数的缩小：

$$f(x)=\frac{1}{1+2x+4x^2}=$$

$$\frac{1}{1+2x+(2x{)}^2}=$$

$$\frac{1x(1-2x)}{[1+2x+(2x{)}^2](1-2x)}=$$

$$\frac{1-2x}{1-4x^2+4x^2-(2x{)}^3}\Rightarrow$$

$$f(x)=\frac{1-2x}{1-(2x{)}^3}=\frac{1}{1-(2x{)}^3}-\frac{2x}{1-(2x{)}^3}$$

又根据麦克劳林公式可知：

$$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n$$

因此：

$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2x{)}^{3n}-2x\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2x{)}^{3n}\Rightarrow$$

$$\begin{array}{}\text{(1)}& f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2x{)}^{3n}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2x{)}^{3n+1}\end{array}$$

同时，由于当 $x$ 的次幂小于 $100$ 时，求导 $100$ 次的过程中会变成零，而当 $x$ 的次幂大于 $100$ 时，求导 $100$ 次后还有没有被“消去”的 $x$ 存在，进而导致当 $x=0$ 时，这部分式子也等于零——

也就是说，在求导 $100$ 次且 $x=0$ 时，只有当原本 $x$ 的次幂是 $100$ 时才可以“幸存下来”。

在式子 (1) 中，由于 $3$ 无法被 $100$ 整除，因此，”$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2x{)}^{3n}$” 中不可能出现 $x$ 的次幂为 $100$ 的情况，即 “$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2x{)}^{3n}$” 将在求导 $100$ 且 $x=0$ 的情况下“消失”。

同时，对于式子 (1) 中的 “$-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2x{)}^{3n+1}$” 这部分而言，由于：

$$3n+1=100\Rightarrow 3n=99\Rightarrow n=33$$

因此：

$$f^{(100)}(0)={(-2^{100}\cdot x^{100})}^{(100)}=-2^{100}\cdot (100)!$$

当然，我们也可以采取下面的计算思路：

根据泰勒公式，我们有（当 $x=0$ 时）：
$$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2x{)}^{3n}-\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2x{)}^{3n+1}=$$
$$f(x)=f(0)+x{f}^{\prime }(0)+\frac{x^2{f}^{\prime \prime }(0)}{2!}+\cdots +$$
$$\frac{x^{100}{f}^{(100)}(0)}{100!}+\frac{x^{101}{f}^{(101)}(0)}{101!}+\cdots$$

进而：
$$f(x)=(2x{)}^0–(2x{)}^1+(2x{)}^3–(2x{)}^4+\cdots +$$
$$(2x{)}^{99}-(2x{)}^{100}+\cdots$$
$$f(x)=f(0)+x{f}^{\prime }(0)+\frac{x^2{f}^{\prime \prime }(0)}{2!}+\cdots +$$
$$\frac{x^{100}{f}^{(100)}(0)}{100!}+\frac{x^{101}{f}^{(101)}(0)}{101!}+\cdots$$

接着：

$$f^{(100)}(0)=-(2x{)}^{100}=\frac{x^{100}{f}^{(100)}(0)}{100!}\Rightarrow$$
$$-2^{100}=\frac{f^{(100)}(0)}{100!}\Rightarrow$$
$$f^{(100)}(0)=-2^{100}\cdot 100!$$

常用麦克劳林公式的求和版写法

麦克劳林公式是泰勒公式在 $x=0$ 处的展开情况。

（黄色部分是重点常用的麦克劳林公式）

$$\begin{array}{rl}& e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}(-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty })\\ & \sin x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}(-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty })\\ & \cos x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}(-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty })\\ & \frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n(-1<x<1)\\ & \frac{1}{1+x}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{x}^n(-1<x<1)\\ & \ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}{x}^n}{n}(-1<x\le 1)\\ & -\ln (1-x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n}(-1\le x<1)\end{array}$$