X 轴和 Y 轴分量上的偏导数存在代表原函数在 X 轴和 Y 轴分量上连续

一、题目

已知 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$, $f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 皆存在，则以下说法中正确的是哪个？

(A) $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续

(B) $\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 存在

(C) $f(x, y)$ 在 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微

(D) $\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)=\lim \limits_{y \rightarrow y_{0}} f\left(x_{0}, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)$

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二、解析

首先，在 X 轴和 Y 轴分量上的偏导数存在不能说明函数在对应点【处处连续】，因此，(A) 和 (B) 两个选项都是错误的。

接着，只有当偏导数都存在且连续的时候才能说明可微，仅有 X 轴和 Y 轴两个分量上的偏导数存在并不能说明函数在该点处可微，因此，(C) 选项错误。

对于 (D) 选项，我们知道，由于偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 就是一元函数 $f(x, y_{0})$ 在 $x = x_{0}$ 处的“导数”，那么，既然 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 存在，由“可导必连续”的准则可知，一元函数 $f(x, y_{0})$ 在 $x = x_{0}$ 处连续，即：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)
$$

同理可知，一元函数 $f(x_{0}, y)$ 在 $y = y_{0}$ 处连续，即：

$$
\lim \limits_{y \rightarrow y_{0}} f\left(x_{0}, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)
$$

综上可知：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f\left(x, y_{0}\right)=\lim \limits_{y \rightarrow y_{0}} f\left(x_{0}, y\right)=f\left(x_{0}, y_{0}\right)
$$

因此，本题的正确选项为 (D).

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