“绝对值”和“讨论正负”是好兄弟姐妹

一、题目

已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 连续，又 $\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{|x|}=1$, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在吗？

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
\begin{cases}
& \lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x)=0 \\
& \lim \limits_{x \rightarrow 0} f(x)=f(0)
\end{cases}
\ \Rightarrow \ f(0)=0
$$

于是：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{|x|}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{f(x)}{x}=1
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)}{|x|}=\lim \limits_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{-x-0}=\frac{f(x)}{-x}=-1
$$

综上可知，$f_{+}^{\prime}(0)$, $f_{-}^{\prime}(0)$ 均存在，但是 $f_{+}^{\prime}(0) \neq f_{-}^{\prime}(0)$, 因此，$f^{\prime}(0)$ 不存在。

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