为什么在加减运算中有无穷大时可以“取大头”，有无穷小时不能“去小头”呢？

一、题目

已知 $f(x)$ 导数连续且 $f^{\prime}(1)=1$, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, 函数 $f(\cos x)-f\left(\frac{2}{2-x^{2}}\right)$ 是 $x$ 的几阶无穷小？

难度评级：

加减运算中的无穷小为什么不能直接舍去？做了这道题你就明白了！

二、解析

方法一：直接求导

Tips:

求导会降阶，因此，虽然本方法计算出来的结果是 $x$ 的一阶无穷小，但表名原式是 $x$ 的二阶无穷小。

$$
f(\cos x)-f\left(\frac{2}{2-x^{2}}\right) \Rightarrow
$$

求导：

$$
f^{\prime}(\cos x) \cdot(-\sin x)-f^{\prime}\left(\frac{2}{2-x^{2}}\right) \cdot \frac{4 x}{\left(2-x^{2}\right)^{2}} \Rightarrow
$$

$$
-\sin x-\frac{4 x}{4}=-(\sin x+x)=-2 x
$$

由于 $(-x^{2})^{\prime} = -2x$, 因此，当 $x \rightarrow 0$ 时, 函数 $f(\cos x)-f\left(\frac{2}{2-x^{2}}\right)$ 是 $x$ 的 $2$ 阶无穷小。

方法二：特例法

令：

$$
f(x)=x
$$

则：

$$
f^{\prime}(1)=1
$$

于是：

$$
f(\cos x)-f\left(\frac{2}{2-x^{2}}\right)=\cos x-\frac{2}{2-x^{2}}=
$$

$$
\cos x – \frac{ (2 – x^{2}) + x^{2}}{2 – x^{2}} =
$$

$$
\cos x – \frac{ (2 – x^{2}) + x^{2}}{2 – x^{2}} =
$$

$$
\cos x – 1 – \frac{x^{2}}{2 – x^{2}} =
$$

$$
\cos x – 1 – \frac{1}{\frac{2}{x^{2}} – 1} =
$$

$$
\cos x – 1 – \frac{1}{\frac{2}{x^{2}}} =
$$

$$
\cos x – 1 – \frac{x^{2}}{2} = -\frac{x^{2}}{2} – \frac{x^{2}}{2} = -x^{2}.
$$

注意：

虽然当 $x \rightarrow 0$ 时，$x^{2}$ 是 $x$ 的高阶无穷小，但是，无穷小只是趋近于“零”，不足以远小于 $2$, 因此，我们不能直接将 $\frac{x^{2}}{2 – x^{2}}$ 分母中的 $x^{2}$ 直接舍去，变成 $\frac{x^{2}}{2}$——

但是，转变成 $\frac{1}{\frac{2}{x^{2}} – 1}$ 的形式之后，由于当 $x \rightarrow 0$ 时，$\frac{2}{x^{2}}$ 是一个无穷大量，远大于 $1$, 因此，$\frac{1}{\frac{2}{x^{2}} – 1}$ 就可以写成 $\frac{1}{\frac{2}{x^{2}}}$.

这就是为什么在加减运算中有无穷大时可以“取大头”，但是，有无穷小时不能“去小头”——因为无穷小是指趋于零，而不是 “$- \infty$”, 达不到远小于常数的程度。

方法三：泰勒公式（通用方法）

已知，函数 $f(x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处的泰勒展开式如下：

$$
f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right) \cdot\left(x-x_{0}\right)+\frac{f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)}{2 !} \cdot\left(x-x_{0}\right)^{2} + \cdots
$$

因此：

$$
f(\cos x)=f[\cos (0)]+f^{\prime}[\cos (0)] \cdot[\cos x-\cos (0)]
$$

$$
f(\cos x)=f(1)+f^{\prime}(1) \cdot(\cos x-1)
$$

且：

$$
f\left(\frac{2}{2-x^{2}}\right)=f\left[\frac{2}{2-0}\right]+f^{\prime}\left[\frac{2}{2-0}\right]
\cdot \left[\frac{2}{2-x^{2}}-\frac{2}{2-0}\right]
$$

$$
f\left(\frac{2}{2-x^{2}}\right)=f(1)+f^{\prime}(1) \cdot\left(\frac{2}{2-x^{2}}-1\right)
$$

于是：

$$
f(\cos x)-f\left(\frac{2}{2-x^{2}}\right)=
$$

$$
\cos x-1-\left(\frac{2}{2-x^{2}}-1\right)=\cos x-1-\frac{x^{2}}{2-x^{2}}=
$$

Tips:

关于 $\frac{x^{2}}{2-x^{2}}$ 的计算步骤可以查看前面的【方法二】。

$$
-\frac{1}{2} x^{2}-\frac{1}{2} x^{2}=-x^{2}.
$$

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