整体加绝对值的函数哪些点是不可导点：绝对值符号内的函数值等于零但一阶导不等于零的点

一、题目

已知 $f(x)$ $=$ $\left|(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}\right|$, 则 $f^{\prime}(x)$ 不存在的点个数是多少？

难度评级：

二、解析

Tips:

我们知道 $|x|$ 在 $x = 0$ 处不可导，那么，$|x|$ 在 $x = 0$ 处表现出来的特征就可以作为我们判断此类被绝对值符号完全包裹的函数的不可导点的方法：绝对值符号内的函数的函数值等于零但一阶导的值不等于零（$|x|$ 中 $x^{\prime} = 1$）

$$
f(x)=\left|(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}\right| \Rightarrow
$$

$$
g(x)=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}
$$

令 $g(x)=0$, 则：

$$
x_{1}=1, \quad x_{2}=2, \quad x_{3}=3
$$

又：

$$
g^{\prime}(x)=(x-2)^{2}(x-3)^{3}+(x-1)\left[2(x-2)(x-3)^{3}+\right.
$$

$$
\left.(x-2)^{2} \cdot 3(x-3)^{2}\right]
$$

则：

$$
g^{\prime}(1)=1 \times(-8)+0=-8 \neq 0
$$

$$
g^{\prime}(2)=0+0=0
$$

$$
g^{\prime}(3)=0+0=0
$$

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