这个函数没说二阶可导，但“显然可导”

一、题目

已知，函数 $f(x)$ 为可导函数，且 $f^{\prime}(x)=-\mathrm{e}^{f(x)}$, $f(0)=0$, 则 $f^{\prime \prime}(0)$ 存在吗？如果存在等于多少？

难度评级：

二、解析

错误的解法：用一点处导数的定义无法求解

$$
f^{\prime \prime}(0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}(0)}{x} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime}(0)=-e^{f(0)}=-1 \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime \prime}(0)=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)+1}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-e^{f(x)}+1}{x}
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-e^{f(x)}}{x}=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{-f(x)}{x}
$$

正确的解法：直接求导

Tips:

虽然题目没说函数 $f(x)$ 二阶可导，但是，我们实际二阶求导所得的式子 $f^{\prime \prime}(x)$ $=$ $-f^{\prime}(x) \cdot e^{f(x)}$ 的确是存在的，因为式子中涉及的一阶导是已知存在的，因此，函数 $f(x)$ 二阶可导。

$$
f^{\prime \prime}(x)=\left[-e^{f(x)}\right]_{x}^{\prime}=-f^{\prime}(x) \cdot e^{f(x)} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime \prime}(x)=-\left[-e^{f(x)}\right] \cdot e^{f(x)}=e^{f(x)} \cdot e^{f(x)} \Rightarrow
$$

$$
f^{\prime \prime}(0)= 1 \times 1 = 1
$$

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