怎么证明二元函数的极限存在：用放缩法

一、题目

二元函数 $f(x, y)=\begin{cases}
& \frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\
& 0, & (x, y)=(0,0)
\end{cases}$, 在点 $(0,0)$ 处是否连续？$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 是否存在？

难度评级：

二、解析

注意 ：放缩法求解二元函数的极值只适用于二元函数的极值存在的前提下，对于如何判断一个二元函数的极值是否存在，可以点击阅览《什么时候二元函数的极限不存在：沿不同直线或者曲线极限值不相等时》这篇文章。

方法一：放缩法

$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}} \Rightarrow
$$

根据等价无穷小公式，可得：

$$
\lim \limits_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} y+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}
$$

又（$x \rightarrow 0$, $y \rightarrow 0$）：

$$
\frac{x^{2} y+y^{4}}{x^{2}+y^{2}} \leqslant\left|\frac{x^{2} y+y^{4}}{x^{2}+y^{2}}\right| \leqslant \frac{x^{2}|y|+y^{4}}{x^{2}+y^{2}} \leqslant
$$

$$
\frac{x^{2}|y|}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y^{4}}{x^{2}+y^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}}|y|+\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} y^{2} \leqslant|y|+y^{2}
$$

或者采取如下放缩方法：
$$
\left|\frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}\right| \leqslant \frac{\left|x^{2} y+y^{4}\right|}{x^{2}+y^{2}}=
$$
$$
\Big| \frac{x^{2}}{x^{2}+y^{2}} y+\frac{y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \cdot y^{2} \Big| \leqslant
$$
$$
\left|y+y^{2}\right| \leqslant|y|+y^{2}
$$

又：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{1}{2} x^{2}=0 \Rightarrow \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=0=f(0,0)
$$

于是可知，函数 $f(x)$ 在点 $(0, 0)$ 处连续。

又：

$$
f_{y}^{\prime}(0,0)=\lim \limits_{\substack{\Delta y \rightarrow 0 \\ x=0}} \frac{f(0, \Delta y)-f(0,0)}{\Delta y} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{\substack{\Delta y \rightarrow 0 \\ x=0}} \frac{\sin (\Delta y)^{4}}{(\Delta y)^{3}}=\lim \limits_{\substack{\Delta y \rightarrow 0 \\ x=0}} \frac{(\Delta y)^{4}}{(\Delta y)^{3}}=0
$$

且：

$$
f_{x}^{\prime}(0,0)=\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ y=0}} \frac{f(\Delta x, 0)-f(0,0)}{\Delta x}=
$$

$$
\lim \limits_{\substack{\Delta x \rightarrow 0 \\ y=0}} \frac{0}{(\Delta x)^{3}}=0
$$

于是可知，$f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在。

方法二：转为极坐标系求解

对于判断函数 $f(x, y)$ 在点 $(0, 0)$ 处是否连续这一问题，我们还可以采取将其转为极坐标系的方法进行判断。

事实上，当 $\alpha \geqslant 0$, $\beta \geqslant 0$ 时，对于形如 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{\alpha} y^{\beta}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 的式子，我们可以有如下计算过程和结论：

$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{\alpha} y^{\beta}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right. \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{array}{l}x=r \cos \theta \\ y=r \sin \theta\end{array} \Rightarrow r \rightarrow 0^{+} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0\end{array}\right.\right.
$$

Tips: 此时，$\theta$ 为任意值。

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=\lim \limits_{r \rightarrow 0^{+}} \frac{r^{\alpha} \cos ^{2} \theta \cdot r^{\beta} \sin ^{\beta} \theta}{r^{2}}=
$$

$$
\lim \limits_{r \rightarrow 0^{+}} r^{\alpha+\beta-2} \cos ^{\alpha} \theta \sin ^{\beta} \theta \Rightarrow
$$

Tips:

$\cos ^{\alpha} \theta \sin ^{\beta} \theta$ 是有界函数，因此，$r^{\alpha+\beta-2} \cos ^{\alpha} \theta \sin ^{\beta} \theta$ 的取值就取决于 $r^{\alpha+\beta-2}$ 的取值。

$$
\left\{\begin{array}{ll}\alpha+\beta>2, & f(x, y)=0 . \\ \alpha+\beta<2, & f(x, y) \ \text{不存在} .\end{array}\right.
$$

拓展资料

针对使用放缩法求解二元函数的极值，我们还有如下这道题目可以参考：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{(x y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left|\frac{(x y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right|
$$

又由常用不等式 $a^{2}+b^{2} \geqslant 2 a b$ 可知：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left|\frac{(x y)^{2}}{x^{2}+y^{2}}\right| \leqslant \lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}}\left|\frac{(x y)^{2}}{2 x y}\right|=\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{1}{2}|x y|=0
$$

于是：

$$
\lim \limits_{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{(x y)^{2}}{x^{2}+y^{2}} = 0
$$

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