当变量趋于无穷大的时候，有关的量也可能变得无关：极限下的情况不能用有限时的思维判断

一、题目

已知 $y=y(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的解，其中 $b, c$ 为正的常数，则 $\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y(x)$ 与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b, c$ 有关吗？

难度评级：

二、解析

注意：本题在计算的过程中会用到一些关于 $e^{x}$ 的极限的一些结论，这些结论在这里，点击即可直达。

首先，求解出该二阶常系数齐次微分方程的特征值：

$$
y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda^{2}+b \lambda+c=0 \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1} = \lambda_{2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 c}}{2}
$$

于是可知，无论 $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$ 是互异实根，重实根还是共轭复数根，在 $b$ 和 $c$ 都是正数的情况下，实部 $\frac{-b}{2}$ 一定是小于零的。

下面分类讨论：

(1) 当 $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$ 是互异实根时：

$$
\lambda_{1} \neq \lambda_{2} \Rightarrow
$$

$$
y(x)=C_{1} e^{\lambda_{1} x}+C_{2} e^{\lambda_{2} x} \Rightarrow
$$

$$
\lambda_{1}<0, \lambda_{2}<0 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y(x)=0
$$

(2) 当 $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$ 是重实根时：

$$
\lambda_{1}=\lambda_{2} \Rightarrow
$$

$$
y(x)=\left(C_{1}+C_{2} x\right) e^{\lambda_{1} x}
$$

$$
\lambda_{1}=\lambda_{2}<0 \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y(x)=0
$$

(3) 当 $\lambda_{1}$ 和 $\lambda_{2}$ 是共轭复根时：

$$
\lambda = \alpha \pm i \beta \Rightarrow
$$

$$
\alpha < 0 \Rightarrow
$$

$$
y(x)=e^{\alpha x}\left(C_{1} \cos \beta x+C_{2} \sin \beta x\right) \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y(x)=0
$$

综上可知，在 $b, c$ 为正的常数的【前提】下，$\lim \limits_{x \rightarrow+\infty} y(x)$ 与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b, c$【均无关】。

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