不是所有的变限积分都要进行求导运算：变限积分也可以是一个周期函数

一、题目

$$
I = \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\int_{0}^{n \pi}|\sin x| \mathrm{d} x}{(n+1) \pi}=?
$$

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty}(n+1) \pi=n \pi
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{0}^{n \pi}|\sin x| \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \cdot \int_{0}^{\pi}|\sin x| \mathrm{~ d} x=
$$

$$
\left.\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n \cdot|-\cos x|\right|_{0} ^{\pi}=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} n|-(-1-1)|=2 n
$$

因此：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\int_{0}^{n \pi}|\sin x| \mathrm{~ d} x}{(n+1) \pi}=\frac{2 n}{n \pi}=\frac{2}{\pi}
$$

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