间断点不一定是不存在的点：间断点也可能是存在的，比如跳跃间断点

一、题目

已知，函数 $f(x)$ $=$ $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+n x(1-x) \sin ^{2} \pi x}{1+n \sin ^{2} \pi x}$, 则 $f(x)$ 的间断点是（）

难度评级：

二、解析

首先，类似于这道题，在本题中，还是要先求出来函数 $f(x)$ 的表达式：

$$
x=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots \Rightarrow
$$

$$
f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+0}{1+0}=x^{2}
$$

$$
x \neq 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots \Rightarrow
$$

$$
f(x)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+n x(1-x) \sin ^{2} \pi x}{1+n \sin ^{2} \pi x} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{x^{2}}{n}+x(1-x) \sin ^{2} \pi x}{\frac{1}{n}+\sin ^{2} \pi x}=
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{x(1-x) \sin ^{2} \pi x}{\sin ^{2} \pi x} \Rightarrow
$$

$$
f(x)=x(1-x)
$$

于是，函数 $f(x)$ 的表达式如下：

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
& x^{2}, \quad x=0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots \\
& x(1-x), \quad x \neq 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \cdots
\end{array}\right.
$$

又：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} x(1-x)=0 \quad \lim \limits_{x \rightarrow 0} x^{2}=0
$$

因此，函数 $f(x)$ 在点 $x = 0$ 处是连续的。

且：

$$
k= \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots \Rightarrow
$$

$$
\begin{cases}
& \lim \limits_{x \rightarrow k} x(1-x)=k(1-k) \\
& \lim \limits_{x \rightarrow k} x^{2}=k^{2}
\end{cases}
\Rightarrow
$$

$$
k(1-k) \neq k^{2}.
$$

于是，函数 $f(x)$ 的间断点为：

$$
x = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \ldots
$$

---