十八般武艺齐上阵：一道不是很简单的极限题

一、题目

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}}=?
$$

难度评级：

二、解析

解法一：规范（复杂）解法

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}}=
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{x^{3}} \ln \left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)}
$$

又：

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)}{x^{3}} \Rightarrow
$$

$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+\tan x)-\ln (1+\sin x)}{x^{3}} \Rightarrow
$$

洛必达运算：

$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{\frac{1}{\cos ^{2} x}}{1+\tan x}-\frac{\cos x}{1+\sin x}}{3 x^{2}}.
$$

其中：

$$
\frac{\frac{1}{\cos x}}{1+\tan x}-\frac{\cos x}{1+\sin x}=\frac{\frac{1}{\cos ^{2} x}(1+\sin x)-\cos x(1+\tan x)}{(1+\tan x)(1+\sin x)}
$$

且：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}(1+\tan x)(1+\sin x)=1 \times 1=1
$$

于是：

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{\cos ^{2} x}(1+\sin x)-\cos x(1+\tan x)}{3 x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
I = \lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\cos ^{2} x\left[\frac{1}{\cos ^{2} x}(1+\sin x)-\cos x(1+\tan x)\right]}{\cos ^{2} x \cdot 3 x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos ^{3} x+\sin x\left(1-\cos ^{2} x\right)}{3 x^{2}}.
$$

当 $x \rightarrow 0$ 时，根据泰勒公式，有：

$$
\cos x=1-\frac{1}{2} x^{2} \Rightarrow
$$

$$
\cos ^{3} x=\left(1-\frac{1}{2} x^{2} \right)^{3} \Rightarrow
$$

$$
\cos ^{3} x=\left(1+\frac{1}{4} x^{4}-x^{2}\right)\left(1-\frac{1}{2} x^{2}\right) \Rightarrow
$$

$$
\cos ^{3} x=1-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{4} x^{4}-\frac{1}{8} x^{6}-x^{2}+\frac{1}{2} x^{4} \sim 1-\frac{3}{2} x^{2} \Rightarrow
$$

$$
1-\cos ^{3} x=1-1+\frac{3}{2} x^{2}=\frac{3}{2} x^{2}.
$$

当 $x \rightarrow 0$ 时，根据等价无穷小公式，有：

$$
\sin x\left(1-\cos ^{2} x\right) \sim x \cdot \frac{1}{2} x^{2}=\frac{1}{2} x^{3}
$$

于是：

$$
I=\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{3}{2} x^{2}+\frac{1}{2} x^{3}}{3 x^{2}}=\frac{1}{2}
$$

进而可知：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}}=e^{\frac{1}{2}}.
$$

不规范（简单）解法

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{x^{3}} \ln \left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+\tan x)-\ln (1+\sin x)}{x^{3}} \Rightarrow
$$

等价无穷小：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^{3}} \Rightarrow
$$

等价无穷小：

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{2} x^{3}}{x^{3}}=\frac{1}{2} \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\frac{1}{x^{3}}}=e^{\frac{1}{2}}.
$$

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