如何证明一个矩阵是可逆矩阵？- 荒原之梦考研数学

一、前言

已知 $A$ 和 $B$ 均为 $n$ 阶可逆矩阵，以下是其性质汇总。

二、正文

$\begin{aligned} [01] A B = B A = E \\ [02] A^{⊤} B^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤} = E \end{aligned}$

Tips:
当 $A B = B A = E$ 时，有：
$(A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤}$ $\Leftrightarrow$ $(A B)^{⊤} = (E)^{⊤} = E$ $\Rightarrow$
$B^{⊤} A^{⊤} = E$
同理可得： $A^{⊤} B^{⊤} = E$

$\begin{aligned} [03] r (A) = r (B) = n \\ [04] A x = 0 只有零解 \\ [05] A x = b 有唯一解 \\ [06] A 的行向量线性无关 \\ [07] A 的列向量线性无关 \\ [08] A 的特征值都不为零 \\ [09] | A | \neq 0 \\ [10] (A^{- 1})^{- 1} = A \\ [11] (k A)^{- 1} = \frac{1}{k} A^{- 1} \\ [11] (A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1} \\ [12] (A^{⊤})^{- 1} = (A^{- 1})^{⊤} \\ [13] | A^{- 1} | = \frac{1}{| A |} \\ [14] 一般情况下， (A + B)^{- 1} \neq A^{- 1} + B^{- 1} \end{aligned}$

可逆矩阵的性质汇总

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