判断数列的增减性既可以用除法也可以用减法

一、题目

已知 $a_{0}>0$, $a_{n}=a_{n-1}\left(a_{n-1}+1\right)(n=1,2, \cdots)$, 则 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} = ?$

难度评级：

二、解析

由题可知：

$$
a_{n}>0.
$$

错误的解法

$$
\frac{a_{n}}{a_{n-1}}=\frac{a_{n-1}\left(a_{n-1}+1\right)}{a_{n-1}}=a_{n-1}+1 \Rightarrow
$$

分类讨论：

$$
a_{n-1}+1>1 \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \rightarrow \infty
$$

$$
0<a_{n-1}+1<1 \Rightarrow \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} \rightarrow 0
$$

正确的解法

$$
a_{n}-a_{n-1}=a_{n-1}\left(a_{n-1}+1\right)-a_{n-1}=
$$

$$
a_{n-1}\left[a_{n-1}+1-1\right]=\left(a_{n-1}\right)^{2} > 0.
$$

由上面的计算结果可知，数列 $a_{n}$ 是单调递增的数列。

但是，我们还需要解决一个问题，就是判断该数列是单调递增有极限，还是单调递增无极限。

假设数列 $a_{n}$ 单调递增有极限，则：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=a \Rightarrow
$$

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n-1}\left(a_{n-1}+1\right) \Rightarrow
$$

$$
a_{n \rightarrow \infty}=a_{n}(a+1) \Rightarrow a_{n}=0.
$$

上面的结果与 $a_{n} > 0$ 相矛盾，因此，由反证法的原理可知，必有：

$$
\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} = + \infty.
$$

Tips:

由于 $a_{n} > 0$, 因此 $\lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}$ 不仅是趋于无穷大的，而且是趋于正无穷大的。

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