计算嵌套三角函数之：$\sin$ 与 $\arctan$

一、题目

第 01 题：

$$
\sin(\arctan x) = ?
$$

第 02 题：

$$
\sin(2 \arctan x) = ?
$$

难度评级：

二、解析

本文及本系列文章中对这类问题的解法侧重于通过严格的数学演算完成求解，如果想以更加形象的方式理解或记忆相关结论，可以参考《$\sin(\arctan x)$ 和 $\cos(\arctan x)$ 怎么算？一张图让你秒懂！》这篇文章。

第 01 题解析

令 $\arctan x$ $=$ $t$, 则：

$$
x = \tan t \Rightarrow
$$

$$
x = \frac{\sin t}{\cos t} \Rightarrow
$$

$$
\sin t = x \cdot \cos t \Rightarrow
$$

$$
\sin^{2} t = x^{2} \cdot \cos^{2} t.
$$

Next

又：

$$
\sin^{2} t + \cos^{2} t = 1 \Rightarrow
$$

$$
x^{2} \cdot \cos^{2} t + \cos^{2} t = 1 \Rightarrow
$$

$$
\cos^{2} t(1 + x^{2}) = 1 \Rightarrow
$$

$$
\cos^{2} t = \frac{1}{1 + x^{2}}.
$$

Next

由于 $\sin^{2} t$ $=$ $x^{2}$ $\cdot$ $\cos^{2} t$, 因此：

$$
\sin^{2} t = x^{2} \cdot \cos^{2} t = x^{2} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\sin^{2} t = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\sin t = \sin(\arctan x) = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}}.
$$

Next

第 02 题解析

令 $2 \arctan x$ $=$ $u$, 则：

$$
\arctan x = \frac{1}{2} u \Rightarrow
$$

$$
x = \tan (\frac{1}{2} u)
$$

Next

于是：

$$
x = \frac{\sin(\frac{1}{2} u)}{\cos (\frac{1}{2} u)} \Rightarrow
$$

$$
\sin (\frac{1}{2} u) = x \cdot \cos (\frac{1}{2} u) \Rightarrow
$$

$$
\sin^{2} (\frac{1}{2} u) = x^{2} \cdot \cos^{2} (\frac{1}{2} u).
$$

Next

进而：

$$
\sin^{2} (\frac{1}{2} u) + \cos^{2} (\frac{1}{2} u) = 1 \Rightarrow
$$

$$
x^{2} \cdot \cos^{2} (\frac{1}{2} u) + \cos^{2} (\frac{1}{2} u) = 1 \Rightarrow
$$

$$
\cos^{2} (\frac{1}{2} u) \cdot [1 + x^{2}] = 1 \Rightarrow
$$

$$
\cos^{2} (\frac{1}{2} u) = \frac{1}{1 + x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\sin^{2}(\frac{1}{2} u) = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\left\{\begin{matrix}
\sin (\frac{1}{2} u) = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}}\\
\cos (\frac{1}{2} u) = \pm \sqrt{\frac{1}{1 + x^{2}}}
\end{matrix}\right.
$$

Next

又：

$$
\sin (2 \arctan x) = \sin u = 2 \sin (\frac{1}{2} u) \cos(\frac{1}{2} u) \Rightarrow
$$

$$
\sin (2 \arctan x) = 2 \cdot \sqrt{\frac
{x^{2} \cdot 1}{(1+x^{2})^{2}}} \Rightarrow
$$

$$
\sin (2 \arctan x) = \frac{2x}{1+x^{2}}.
$$

Next

综上可知：

$$
\sin(\arctan x) = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{1 + x^{2}}}.
$$

$$
\sin(2 \arctan x) = \frac{2x}{1+x^{2}}.
$$

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