找规律凑微分：$\int$ $\frac{x \ln x + x \ln^{2} x}{2 + \ln x}$ $\mathrm{d} x$

一、题目

$$
\int \frac{x \ln x + x \ln^{2} x}{2 + \ln x} \mathrm{d} x = ?
$$

难度评级：

二、解析

首先，本题无法直接借助现有的积分公式求解。又由于本题中出现最多的就是 $x \ln x$, 因此，我们可以考虑利用 $x \ln x$ 作为突破口凑微分。

$$
\int \frac{x \ln x + x \ln^{2} x}{2 + x \ln x} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{x \ln x \cdot (1 + \ln x)}{2 + x \ln x} \mathrm{d} x.
$$

Next

又：

$$
(x \ln x)^{\prime} = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = 1 + \ln x
$$

Next

于是：

$$
\int \frac{x \ln x \cdot (1 + \ln x)}{2 + x \ln x} \mathrm{d} x =
$$

$$
\int \frac{x \ln x}{2 + x \ln x} \mathrm{d} (x \ln x) \Rightarrow
$$

Next

令 $x \ln x$ $=$ $u$, 则：

$$
\int \frac{u}{2 + u} \mathrm{d} u =
$$

$$
\int \frac{2 + u – 2}{2 + u} \mathrm{d} u =
$$

$$
\int \frac{2 + u}{2 + u} \mathrm{d} u – \int \frac{2}{2 + u} \mathrm{d} u =
$$

$$
\int 1 \mathrm{d} u – 2 \int \frac{1}{2 + u} \mathrm{d} u =
$$

Next

$$
u – 2 \ln |2 + u| + C \Rightarrow
$$

$$
\int \frac{x \ln x + x \ln^{2} x}{2 + x \ln x} \mathrm{d} x = x \ln x – 2 \ln |2 + x \ln x| + C.
$$

其中，$C$ 表示任意常数。

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