计算嵌套三角函数之：$\cos$ 与 $\arctan$

一、题目

$$
\cos(\arctan x) = ?
$$

难度评级：

二、解析

本文及本系列文章中对这类问题的解法侧重于通过严格的数学演算完成求解，如果想以更加形象的方式理解或记忆相关结论，可以参考《$\sin(\arctan x)$ 和 $\cos(\arctan x)$ 怎么算？一张图让你秒懂！》这篇文章。

令 $t$ $=$ $\arctan x$, 则：

$$
x = \tan t \Rightarrow
$$

$$
x = \frac{\sin t}{\cos t} \Rightarrow
$$

$$
\cos t = \frac{\sin t}{x} \Rightarrow
$$

$$
\cos^{2} t = \frac{\sin^{2} t}{x^{2}} \quad ① \Rightarrow
$$

Next

$$
\sin^{2} t + \cos^{2} t = 1 \Rightarrow
$$

$$
\sin^{2} t + \frac{\sin^{2} t}{x^{2}} = 1 \Rightarrow
$$

$$
\sin^{2} t (1 + \frac{1}{x^{2}}) = 1 \Rightarrow
$$

$$
\sin^{2} t (\frac{1 + x^{2}}{x^{2}}) = 1 \Rightarrow
$$

$$
\sin^{2} t = \frac{x^{2}}{1 + x^{2}} \Rightarrow
$$

Next

由上面的 $①$ 式可知 $\Rightarrow$

$$
\cos^{2} t = \frac{\sin^{2} t}{x^{2}} = \frac{1}{1 + x^{2}} \Rightarrow
$$

$$
\cos t = \cos(\arctan x) = \pm \sqrt{\frac{1}{1 + x^{2}}}
$$

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