求解定积分 $\int_{0}^{1}$ $x (1-x^{4})^{\frac{3}{2}}$

一、题目

$$
\int_{0}^{1} x (1-x^{4})^{\frac{3}{2}} = ?
$$

难度评级：

二、解析

对于这类带有平方和根号的积分式子，我们可以尝试使用三角代换求解，但是，在本题中，我们不能通过令 $x$ $=$ $\sin t$ 的方式进行三角代换，因为这样会产生一个我们无法直接通过现有的公式转换的式子 $1$ $-$ $\sin^{4} x$——详见《$\sin^{4} x$ $+$ $\cos^{4} x$ 等于 $1$ 吗？》

于是，我们只能令：

$$
x^{2} = \sin t
$$

Next

进而可知：

$$
x \in (0, 1) \Rightarrow t \in (0, \frac{\pi}{2})
$$

$$
x > 0 \Rightarrow x = \sqrt{\sin t}
$$

$$
\mathrm{d} x = \mathrm{d} (\sqrt{\sin t}) = \frac{1}{2} \frac{\cos t}{\sqrt{\sin t}} \mathrm{d} t.
$$

Next

于是：

$$
\int_{0}^{1} x (1-x^{4})^{\frac{3}{2}} \mathrm{d} t =
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\sin t} (1 – \sin^{2} t)^{\frac{3}{2}} \frac{\cos t}{\sqrt{\sin t}} \mathrm{d} t =
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos^{2} t)^{\frac{3}{2}} \cos t \mathrm{d} t =
$$

$$
\frac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{4} t \mathrm{d} t =
$$

Next

点火公式 $\Rightarrow$

$$
\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{3 \pi}{32}.
$$

---