什么时候该舍去较小的无穷大？以 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\sin \pi \sqrt{4n^{2} + n}$ 为例

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sin \pi \sqrt{4n^{2} + n} = ?
$$

难度评级：

二、解析

本题的一个错误解法就是认为，当 $n$ $\rightarrow$ $\infty$ 时，有：

$$
\sqrt{4n^{2} + n} \sim \sqrt{4n^{2}} \sim 2n.
$$

Next

从而得出如下错误结论：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sin \pi \sqrt{4n^{2} + n} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sin 2 n \pi = 0
$$

或者：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sin 2 n \pi \Rightarrow 极限不存在
$$

错误原因：只有在关于 $n$ 的分式中，才可以将远小于 $n^{2}$ 的 $n$ 舍去，否则就不能直接舍去。

如果是 $\lim_{x \rightarrow \infty}$ $\sqrt{4n^{2} + 100}$, 则其中的 “$100$” 就可以直接舍去，而不需要构建出“分式”后再舍去。

Next

正确的解法如下：

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sin \pi \sqrt{4n^{2} + n} =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sin \Big[ 2 n \pi + ( \pi \sqrt{4n^{2} + n} – 2n \pi) \Big] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sin \Big[ 2 n \pi + (\sqrt{4n^{2} + n} – 2n) \pi \Big] =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sin (\sqrt{4n^{2} + n} – 2n) \pi =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sin \Big[ \frac{(\sqrt{4n^{2} + n} – 2n)(\sqrt{4n^{2} + n} + 2n)}{\sqrt{4n^{2} + n} + 2n} \Big] \pi =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sin \Big( \frac{2n + n – 2n}{\sqrt{4n^{2} + n} + 2n} \Big) \pi =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sin \Big( \frac{n}{\sqrt{4n^{2} + n} + 2n} \Big) \pi =
$$

上式存在关于且仅关于 $n$ 的分式 $\frac{n}{\sqrt{4n^{2} + n} + 2n}$, 因此，我们可以将 $\sqrt{4n^{2} + n}$ 中的 $n$ 舍去。

Next

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sin \Big( \frac{n}{\sqrt{4n^{2}} + 2n} \Big) \pi =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sin \Big( \frac{n}{4n} \Big) \pi =
$$

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt
2}{2}.
$$

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