2015 年研究生入学考试数学一选择题第 7 题解析

题目

A,B 为任意两个随机事件,则 ( )

( A ) P(AB) \leqslant P(A)P(B).

( B ) P(AB) \geqslant P(A)P(B).

( C ) P(AB) \leqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}.

( D ) P(AB) \geqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}.

解析

我们知道,AB \Leftrightarrow A \cap B.

于是,我们知道,AB \subset A, AB \subset B.

接下来,根据概率的基本性质中的可比性:

A,B 是两个事件,若 A \subset B, 则有:

P(A) \leqslant P(B);

P(B-A)=P(B)-P(A).

于是,我们知道:

P(AB) \leqslant P(A); ①

P(AB) \leqslant P(B). ②

接下来,将 ① 式与 ② 式联立可得:

P(AB)+P(AB) \leqslant P(A)+P(B) \Leftrightarrow 2 \cdot P(AB) \leqslant P(A)+P(B) \Leftrightarrow P(AB) \leqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}.

综上可知,本题的正确选项是:C

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理解互斥事件与对立事件(图文)

先来看一下互斥事件与对立事件的定义。

互斥事件的定义:

互斥事件(互不相容):当 AB= \varnothing (也可以写成 A \cap B=\varnothing)时,称事件 A 与 事件B 互不相容或互斥,事件 A,B 不能同时发生.

对立事件的定义:

对立事件(逆事件):若 A \cup B=\OmegaA \cap B=\varnothing, 则称 AB 互为逆事件,也称互为对立事件. A 的对立事件记为 \bar{A}.

总的来说,互斥事件是一个比对立事件更广泛一些的概念,这一点从互斥事件与对立事件各自的定义上也可以看出来。互斥事件只限制了 A \cap B = \varnothing, 而对立事件不仅限制了 A \cap B = \varnothing, 还限制了 A \cup B = \Omega. 很显然,互斥事件的限制范围更宽松,因此能表示的范围也更大。

我们可以将互斥事件和对立事件理解成包含和被包含的关系:

对立必然互斥,互斥不一定对立。

如果要用普通语言表述互斥事件与对立事件,那就是:

对立是要么一定且只能是我,要么就一定且只能是你;

互斥是如果不是我,则可能是你,也可能另外的其他人。

为了进一步辅助理解,我画了两张图,大致表示出了对立事件和互斥事件,如下。

图 1 表示 AB 为对立事件时其相互之间的关系:

图 1. 对立事件示意图

图 2 表示 AB 为互斥事件时其 相互之间的关系:

图 2. 互斥事件示意图

注:本文中的 “\Omega” 表示当前语境下的样本空间,即当前语境下所有样本点组成的集合。

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2015 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

设函数 f(x)(-\infty,+\infty) 上连续,其 2 阶导函数 f''(x) 的图形如图 1 所示,则曲线 y=f(x) 的拐点的个数为 ( )

( A ) 0.

( B ) 1.

( C ) 2.

( D ) 3.

图 1

解析

如图 2 所示,令左边的曲线与 x 轴的交点为点 x_{1}, 坐标原点为点 x_{2}, 右边曲线与 x 轴的交点为点 x_{3}:

图 2

由于本题涉及 2 阶导数,因此可以通过拐点存在的充分条件中的第一充分条件来判定:

若曲线 y=f(x)x=x_{0}f''(x_{0})=0 (或 f''(x_{0}) 不存在,但 f(x)x=x_{0} 处连续),若 f''(x)x_{0} 的左、右两侧邻域内异号,则 (x_{0},f(x_{0})) 为曲线 y=f(x) 的拐点。

我们知道,对于连续函数的图像曲线而言,拐点处的图像曲线要么等于零,要么不存在。图 2 中的 x_{1},x_{2},x_{3} ( f''(x_{2}) 虽然不存在,但是由题目中给出的“函数 f(x)(-\infty,+\infty) 上连续”的条件我们知道,f''(x_{2}) 在点 x_{2} 的左右两侧邻域是连续的,可能是原函数的一个拐点。)三个点均满足该条件。但是点 x_{1} 两侧的函数都为正(f''(x) 的图像在 x 轴上方),因此,不满足“左右两侧邻域内异号”的条件,因此,点 x_{1} 不是函数 f(x) 的拐点。点 x_{2}x_{3} 两侧邻域的函数图像均异号,因此点 x_{2}x_{3} 满足函数拐点存在的充分条件,函数 f(x) 有两个拐点。

综上可知,本题的正确选项是:C

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2011 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析

题目

曲线 y=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}(x-4)^{4} 的拐点是 ( )

( A ) (1,0).

( B ) (2,0).

( C ) (3,0).

( D ) (4,0).

解析

本题主要涉及求导,曲线的凹凸性,曲线凹凸性的判定,拐点的定义,拐点存在的充分条件这些知识。

曲线凹凸性的定义如下:

设函数 f(x) 在区间 I 上连续,若对 I 上任意两点 x_{1}, x_{2}, 恒有:

f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})<(>)\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2},

则称曲线 y=f(x) 在区间 I 上是向凹(凸)的.

曲线凹凸性的判定如下:

设函数 f(x)[a,b] 上连续,在 (a,b) 内具有二阶导数,那么:

① 如果在 (a,b)f''(x)>0, 则曲线 y=f(x)[a,b] 上是凹的;

② 如果在 (a,b)f''(x)<0, 则曲线 y=f(x)[a,b] 上是凸的.

拐点的定义如下:

设函数 f(x) 在区间 I 内连续,x_{0}I 的内点,如果曲线 y=f(x) 在经过点 (x_{0},f(x_{0})) 时凹凸性发生了改变,则称点 (x_{0},f(x_{0})) 为曲线的拐点.

拐点存在的充分条件如下:

第一充分条件:若曲线 y=f(x)x=x_{0}f''(x_{0})=0 (或 f''(x_{0}) 不存在,但 f(x)x=x_{0} 处连续),若 f''(x)x_{0} 的左右两侧邻域异号,则 (x_{0},f(x_{0})) 为曲线 y=f(x)的拐点.

第二充分条件:设 f(x)x=x_{0} 的某邻域内有三阶导数,且 f''(x_{0})=0, f'''(x_{0})\neq0, 则 (x_{0},f(x_{0}))f(x) 的拐点.

回到本题。本题的原式是:

y=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}(x-4)^{4}.

观察可知,当 x=1,2,3,4 时都可以使 y=0, 而我们在找拐点的时候,最重要的就是找到哪个点是大于零的,哪个点是小于零的或者哪个点是等于零的,上面式子的设定从计算上来看可以很快地找到这些特殊点。

求拐点的过程中少不了要计算导数,但是上面的式子太长,求导之后会更长,为了方便计算,尽可能避免出错,我们作如下约定:

令:

A=(x-1);

B=(x-2)^{2};

C=(x-3)^{3};

D=(x-4)^{4}.

之后,我们有:

原式=y=ABCD.

于是我们有:

y'=A'BCD+A(BCD)';

y''=A''BCD+A'(BCD)'+A'(BCD)'+A(BCD)'';

y'''=A'''BCD+A''(BCD)'+A''(BCD)'+A'(BCD)''+A''(BCD)'+A'BCD''+A'(BCD)''+A(BCD)''';

y'=0, 则有:

y'(2)=y'(3)=y'(4)=0;

y'(1)\neq0. (x=1 对应 A, 但是 A' 是一个常数,不受 x 的影响,因此 x=1 不会使 y'=0, 以下计算过程中的判断与此类似.)

y''=0, 则有:

y''(3)=y''(4)=0;

y''(1)\neq0, y''(2)\neq0.

y'''=0, 则有:

y'''(4)=0;

y'''(1)\neq0, y'''(2)\neq0, y'''(3)\neq0.

通过上面的计算我们知道,y''(3)=0y'''(3)\neq0, 因此,根据拐点存在的充分条件中的第二充分条件,点 (3,0) 是曲线 y 的拐点。

综上可知,本题的正确选项是:C

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新版微软飞行模拟器发布:如同艺术作品

微软在当地时间 2019 年 06 月 11 日到 2019 年 06 月 13 日于洛杉矶会议中心 (Los Angeles Convention Center) 举办的微软 E3 大会上发布了新版 Microsoft Flight Simulator.

根据宣传画面,新版 Microsoft Flight Simulator 制作十分精美,画面细腻逼真,每一帧都如同一件艺术作品。

以下是来自 Microsoft Flight Simulator 官网的一些游戏画面。

Image From: Microsoft Flight Simulator, https://fsi.microsoftstudios.com/media/
Image From: Microsoft Flight Simulator, https://fsi.microsoftstudios.com/media/
Image From: Microsoft Flight Simulator, https://fsi.microsoftstudios.com/media/
Image From: Microsoft Flight Simulator, https://fsi.microsoftstudios.com/media/
Image From: Microsoft Flight Simulator, https://fsi.microsoftstudios.com/media/
Image From: Microsoft Flight Simulator, https://fsi.microsoftstudios.com/media/
Image From: Microsoft Flight Simulator, https://fsi.microsoftstudios.com/media/

第四代树莓派开始发售

Raspberry Pi 近日在其官网发文表示,第四代树莓派已经开始公开发售,起价 35 美元。

Raspberry Pi 4 几乎对每个组件都进行了升级,使得这个平台具备了如同个人电脑一样的性能。与此同时,第四代树莓派还保留了传统树莓派丰富的接口和可编程性。

Raspberry Pi 4 Model B 配置如下:

  • 四核心 1.5GHz 的 64 位 ARM Cortex-A72 CPU(据说有 3 倍性能提升);
  • 1GB, 2GB, 或 4GB 的 LPDDR4 SD 闪存(SDRAM);
  • 全速千兆以太网接口;
  • 双波段 802.11ac 无线网卡;
  • 蓝牙 5.0;
  • 两个 USB 3.0 接口和两个 USB 2.0 接口;
  • 支持双显示器,分辨率最高可达 4K;
  • 搭载 VideoCore VI graphics, 支持 OpenGL ES 3.x;
  • 使用 4Kp60 对 HEVC 视频进行硬件解码;
  • 完全兼容 Raspberry Pi 早期产品。

Raspberry Pi 4 提供三种内存大小可选,分别是 1GB, 2GB 和 4GB, 根据不同的内存大小,Raspberry Pi 4 的售价分别为 35 美元,45 美元和 55 美元(这些价格都不包含税费和运费)。

图 1. Raspberry Pi 4, picture from https://www.raspberrypi.org/blog/raspberry-pi-4-on-sale-now-from-35/

声明:

本文消息来源:Raspberry Pi 4 on sale now from $35 – Raspberry Pi

如果本文表述或含义与本文消息来源中的表述或含义不一致,请以本文消息来源中的表述或含义为准,本文仅供参考。