题目
下列命题中正确的是（）
( A ) 若 [latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)[/latex], 则 [latex]\exists \varepsilon > 0[/latex], 当 [latex]0<|x-x_{0}|<\varepsilon[/latex] 时，[latex]f(x) \geqslant g(x)[/latex].
( B ) 若 [latex]\exists \varepsilon>0[/latex], 当 [latex]0<|x-x_{0}|< \varepsilon [/latex] 时，[latex]f(x)>g(x)[/latex], 且 [latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A_{0}, \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)=B_{0}[/latex], 则 [latex]A_{0}>B_{0}[/latex].
( C ) 若 [latex]\exists \varepsilon>0[/latex], 当 [latex]0<|x-x_{0}|<\varepsilon[/latex] 时，[latex]f(x)>g(x)[/latex], 则 [latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)[/latex].
( D ) 若 [latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)>\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)[/latex], 则 [latex]\exists \varepsilon>0[/latex], 当 [latex]0<|x-x_{0}|<\varepsilon[/latex] 时，[latex]f(x)>g(x)[/latex].
解析
概念考察题是考研数学中一类比较难的题，这类题的难点在于除了紧抠概念之外，解答者没有多少可以自由发挥的空间。而且，概念考察题考察的都是概念的细微之处，一不留神就可能审错题。
从本题的四个选项可以看出，本题考查的着重点在函数极限这一部分。更细致的来看，本题考查了函数极限的定义中当 [latex]x \rightarrow x_{0}[/latex] 时的极限的定义，如下：
已知 [latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A[/latex]
任给 [latex]\varepsilon >0[/latex], 存在正数 [latex]\delta[/latex], 当 [latex]0<x-x_{0}<\delta[/latex] 时，就有 [latex]|f(x)-A|<\varepsilon[/latex].
注：上面这个定义说的通俗一点就是，当 [latex]x[/latex] 与 [latex]x_{0}[/latex] 足够接近的时候，[latex]f(x)[/latex] 与 [latex]f(x)[/latex] 的极限 [latex]A[/latex] 也足够接近。
本题还考察了函数极限的性质中的“保号性”，如下：
设 [latex]\lim f(x)=A>0[/latex], 则在极限管辖的范围内，[latex]f(x)>0(f(x)>\frac{A}{2})[/latex].
反之，[latex]f(x)>0[/latex] 且 [latex]\lim f(x)=A \Rightarrow A \geqslant 0[/latex].
注：当 [latex]x \rightarrow x_{0}[/latex] 时，“极限管辖的范围”指的就是 [latex]x_{0}[/latex] 的去心邻域；当 [latex]x \rightarrow \infty[/latex] 时，“极限管辖的范围”指的就是无穷远处。
对于函数极限的性质中的保号性，我们需要明确以下几点：
解答保号性问题的大前提是“涉及到的函数的极限均存在”，这也是解决所有涉及极限的问题的大前提：要研究和利用极限，则极限必须存在； 保号性都是局部保号性，即只有在极限管辖的范围内才存在保号性； 由极限大于 [latex]0[/latex] 可以推出函数大于 [latex]0[/latex], 不能推出函数等于 [latex]0[/latex] 或者函数小于 [latex]0[/latex]. 由函数大于 [latex]0[/latex] 可以推出极限大于 [latex]0[/latex] 或者极限等于 [latex]0[/latex], 而且在不确定极限究竟是只大于 [latex]0[/latex] 还是只小于 [latex]0[/latex] 的情况下，要写成极限大于等于 [latex]0[/latex] 的形式。 以下是对本题中每一个选项的分析。
A 选项
该选项给出了：
[latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)[/latex]
这说明 [latex]f(x)[/latex] 和 [latex]g(x)[/latex] 的极限都存在（满足了研究极限问题的大前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤）且 [latex]f(x)[/latex] 的极限大于等于 [latex]f(x)[/latex] 的极限。
于是，我们有：
[latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}(f(x)-g(x)) \geqslant 0[/latex]
接下来选项给出了：
若 [latex]\exists \varepsilon > 0[/latex], 当 [latex]0<|x-x_{0}|<\varepsilon[/latex] 时
这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法，具备使用保号性的前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。
该选项接下来指出，由上面的条件可以推出 [latex]f(x) \geqslant g(x)[/latex].
这个结论是不对的。原因如下：
若函数 [latex]f(x)[/latex] 的极限 [latex]A >0[/latex], 则可以推出函数 [latex]f(x)>0[/latex];
若函数 [latex]f(x)[/latex] 的极限 [latex]A<0[/latex], 则可以推出函数 [latex]f(x)<0[/latex];
若函数 [latex]f(x)[/latex] 的极限 [latex]A=0[/latex], 则不能确定函数 [latex]f(x)[/latex] 是大于 [latex]0[/latex], 小于 [latex]0[/latex] 还是等于 [latex]0[/latex]. 原因是，如果 [latex]A=0[/latex] 我们不知道函数 [latex]f(x)[/latex] 是在大于 [latex]0[/latex] 的方向上趋近于极限 [latex]A[/latex], 还是在小于 [latex]0[/latex] 的方向上趋近于极限 [latex]A[/latex], 抑或 [latex]f(x)=0[/latex].
如图 1 所示，当函数的极限等于 [latex]0[/latex] 时，函数可能是大于 [latex]0[/latex] 的：
图 1. y=1/x 的局部图像，使用 www.desmos.com 生成 如图 2 所示，当函数的极限等于 0 时，函数也可能是小于 [latex]0[/latex] 的：
图 2. y=1/(-x) 的局部图像，使用 www.desmos.com 生成 第三种情况，当函数的极限等于 [latex]0[/latex] 时，函数可能也是等于 [latex]0[/latex] 的，如图 3 所示：
图 3. y=0 的局部图像，使用 www.desmos.com 生成 因此，已知极限 [latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}[f(x)-g(x)]\geqslant0[/latex], 并不能推导出函数 [latex]F(x)=[f(x)-g(x)]\geqslant0[/latex].
综上可知，选项 A 是错误的。
B 选项
题目中给出了如下条件：
若 [latex]\exists \varepsilon>0[/latex], 当 [latex]0<|x-x_{0}|<\varepsilon[/latex] 时
因此，本题符合函数极限保号性的使用条件，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。
接着，该选项给出：
[latex]f(x)>g(x)[/latex]
于是，当我们令 [latex]F(x)=f(x)-g(x)[/latex] 时，可以得出如下结论：
[latex]F(x)>0[/latex]
接着，该选项又给出：
[latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)=A_{0}, \lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)=B_{0}[/latex]
这说明函数 [latex]f(x)[/latex] 和函数 [latex]g(x)[/latex] 都是存在极限的，符合我们研究函数极限问题的大前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。
最后，该选项给出了他的结论：
[latex]A_{0}>B_{0}[/latex]
有了这个结论，结合前面的条件，我们可以把该选项改写成如下形式：
已知函数 [latex]F(x)[/latex] 存在极限，且函数 [latex]F(x)>0[/latex], 则 [latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}F(x)>0[/latex].
这个结论显然是错误的，因为已知函数大于 [latex]0[/latex] 的时候，其极限是可能等于 [latex]0[/latex] 的，例如对 A 选项的解析中给出的图 1, 函数 [latex]f(x)=\frac{1}{x}[/latex] 始终是大于 [latex]0[/latex] 的，但是其极限却是等于 [latex]0[/latex] 的。
综上可知，选项 B 是错误的。
C 选项
该选项的错误比较明显，因为选项中没有指明函数 [latex]f(x)[/latex] 和函数 [latex]g(x)[/latex] 的极限存在，缺少了研究极限问题的大前提，那么，接下来的所有说明和结论都是没有根据也没有意义的。不过，如果 C 选项像 B 选项一样指明函数 [latex]f(x)[/latex] 和函数 [latex]g(x)[/latex] 的极限是存在的，那么该选项的表述就是正确的，原因在 B 选项中已经分析过。
综上可知，选项 C 是错误的。
D 选项
该选项首先给出了如下条件：
[latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}f(x)>\lim_{x \rightarrow x_{0}}g(x)[/latex]
若我们令 [latex]F(x)=f(x)-g(x)[/latex], 则上面的条件可以改写成：
[latex]\lim_{x \rightarrow x_{0}}F(x)>0[/latex]
接着选项给出了：
若 [latex]\exists \varepsilon>0[/latex], 当 [latex]0<|x-x_{0}|<\varepsilon[/latex] 时
这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法，具备使用保号性的前提，条件可用，可以继续接下来的思考步骤。
接着，该选项给出了它的结论：
[latex]f(x)>g(x)[/latex]
根据前面的分析可知，我们可以将此改写成：
[latex]F(x)>0[/latex]
我们知道，当一个函数的极限存在且大于 [latex]0[/latex] 的时候，在函数极限的管辖范围内，可以推导出该函数也大于 [latex]0[/latex].
综上可知，选项 D 是正确的。
EOF
