## 一、题目

( A ) $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)P(B)$.

( B ) $P(AB)$ $\geqslant$ $P(A)P(B)$.

( C ) $P(AB)$ $\leqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.

( D ) $P(AB)$ $\geqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.

## 二、解析

$P(A)$ $\leqslant$ $P(B)$;
$P(B-A)$ $=$ $P(B)$ $-$ $P(A)$.

$P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$; ①

$P(AB)$ $\leqslant$ $P(B)$. ②

$P(AB)$ $+$ $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$ $+$ $P(B)$ $\Leftrightarrow$ $2$ $\cdot$ $P(AB)$ $\leqslant$ $P(A)$ $+$ $P(B)$ $\Leftrightarrow$ $P(AB)$ $\leqslant$ $\frac{P(A)+P(B)}{2}$.

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EOF

## 一、题目

( A ) $0$.

( B ) $1$.

( C ) $2$.

( D ) $3$.

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## 一、题目

( A ) $(1,0)$.

( B ) $(2,0)$.

( C ) $(3,0)$.

( D ) $(4,0)$.

## 二、解析

$f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})$ $<$ $(>)$ $\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2}$,

① 如果在 $(a,b)$ 内 $f”(x)$ $>$ $0$, 则曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凹的;

② 如果在 $(a,b)$ 内 $f”(x)$ $<$ $0$, 则曲线 $y$ $=$ $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上是凸的.

$y$ $=$ $(x-1)$ $(x-2)^{2}$ $(x-3)^{3}$ $(x-4)^{4}$.

$A$ $=$ $(x-1)$;

$B$ $=$ $(x-2)^{2}$;

$C$ $=$ $(x-3)^{3}$;

$D$ $=$ $(x-4)^{4}$.

$y’$ $=$ $A’BCD$ $+$ $A(BCD)’$;

$y”$ $=$ $A”BCD$ $+$ $A'(BCD)’$ $+$ $A'(BCD)’$ $+$ $A(BCD)”$;

$y”’$ $=$ $A”’BCD$ $+$ $A”(BCD)’$ $+$ $A”(BCD)’$ $+$ $A'(BCD)”$ $+$ $A”(BCD)’$ $+$ $A’BCD”$ $+$ $A'(BCD)”$ $+$ $A(BCD)”’$;

$y'(2)$ $=$ $y'(3)$ $=$ $y'(4)$ $=$ $0$;

$y'(1)$ $\neq$ $0$. ($x$ $=$ $1$ 对应 $A$, 但是 $A’$ 是一个常数，不受 $x$ 的影响，因此 $x$ $=$ $1$ 不会使 $y’$ $=$ $0$, 以下计算过程中的判断与此类似.)

$y”(3)$ $=$ $y”(4)$ $=$ $0$;

$y”(1)$ $\neq$ $0$, $y”(2)$ $\neq$ $0$.

$y”'(4)$ $=$ $0$;

$y”'(1)$ $\neq$ $0$, $y”'(2)$ $\neq$ $0$, $y”'(3)$ $\neq$ $0$.

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## 第四代树莓派开始发售

Raspberry Pi 近日在其官网发文表示，第四代树莓派已经开始公开发售，起价 35 美元。

Raspberry Pi 4 几乎对每个组件都进行了升级，使得这个平台具备了如同个人电脑一样的性能。与此同时，第四代树莓派还保留了传统树莓派丰富的接口和可编程性。

Raspberry Pi 4 Model B 配置如下：

• 四核心 1.5GHz 的 64 位 ARM Cortex-A72 CPU（据说有 3 倍性能提升）；
• 1GB, 2GB, 或 4GB 的 LPDDR4 SD 闪存(SDRAM);
• 全速千兆以太网接口；
• 双波段 802.11ac 无线网卡；
• 蓝牙 5.0;
• 两个 USB 3.0 接口和两个 USB 2.0 接口；
• 支持双显示器，分辨率最高可达 4K;
• 搭载 VideoCore VI graphics, 支持 OpenGL ES 3.x;
• 使用 4Kp60 对 HEVC 视频进行硬件解码；
• 完全兼容 Raspberry Pi 早期产品。

Raspberry Pi 4 提供三种内存大小可选，分别是 1GB, 2GB 和 4GB, 根据不同的内存大小，Raspberry Pi 4 的售价分别为 35 美元，45 美元和 55 美元（这些价格都不包含税费和运费）。

## 一、题目

( A ) 若 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $\geqslant$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$, 则 $\exists$ $\varepsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_{0}|$ $<$ $\varepsilon$ 时，$f(x)$ $\geqslant$ $g(x)$.

( B ) 若 $\exists$ $\varepsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_{0}|$ $<$ $\varepsilon$ 时，$f(x)$ $>$ $g(x)$, 且 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A_{0}$, $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$ $=$ $B_{0}$, 则 $A_{0}$ $>$ $B_{0}$.

( C ) 若 $\exists$ $\varepsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_{0}|$ $<$ $\varepsilon$ 时，$f(x)$ $>$ $g(x)$, 则 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $\geqslant$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$.

( D ) 若 $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $>$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$, 则 $\exists$ $\varepsilon$ $>$ $0$, 当 $0$ $<$ $|x-x_{0}|$ $<$ $\varepsilon$ 时，$f(x)$ $>$ $g(x)$.

## 二、解析

• 解答保号性问题的大前提是“涉及到的函数的极限均存在”，这也是解决所有涉及极限的问题的大前提：要研究和利用极限，则极限必须存在；
• 保号性都是局部保号性，即只有在极限管辖的范围内才存在保号性；
• 由极限大于 $0$ 可以推出函数大于 $0$, 不能推出函数等于 $0$ 或者函数小于 $0$. 由函数大于 $0$ 可以推出极限大于 $0$ 或者极限等于 $0$, 而且在不确定极限究竟是只大于 $0$ 还是只小于 $0$ 的情况下，要写成极限大于等于 $0$ 的形式。

### A 选项

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $\geqslant$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$.

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $($ $f(x)$ $-$ $g(x)$ $)$ $\geqslant$ $0$.

### B 选项

$f(x)$ $>$ $g(x)$

$F(x)$ $>$ $0$

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $=$ $A_{0}$, $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$ $=$ $B_{0}$

$A_{0}$ $>$ $B_{0}$

### D 选项

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $f(x)$ $>$ $\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $g(x)$

$\lim_{x \rightarrow x_{0}}$ $F(x)$ $>$ $0$

$f(x)$ $>$ $g(x)$

$F(x)$ $>$ $0$

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## 无人机被击落后，美国向伊朗发动网络战

RQ-4 全球鹰无人机：

Libra 并不是专属于 Facebook 的加密货币，Facebook 只是 Libra 协会的成员之一，这个协会目前还包括 MasterCard, Visa, PayPal, Uber, eBay, Vodafone 和 Mercy Corps 等在内的共计 28 个创始成员。在 2020 年 Libra 正式运行的时候，Facebook 希望 Libra 协会最终能拥有 100 个成员。

## 一、题目

( A ) $a$ $=$ $1$, $b$ $=$ $-$ $\frac{1}{6}$.

( B ) $a$ $=$ $1$, $b$ $=$ $\frac{1}{6}$.

( C ) $a$ $=$ $-1$, $b$ $=$ $-\frac{1}{6}$.

( D ) $a$ $=$ $-1$, $b$ $=$ $\frac{1}{6}$.

## 二、解析

$\lim_{x \rightarrow 0}$ $\frac{f(x)}{g(x)}$ $=$ $\lim_{x\rightarrow 0}$ $\frac{x-\sin ax}{x^{2}\ln(1-bx)}$ $=$ $1$.

$\sin x$ $\sim x$;

$x$ $-$ $\sin x$ $\sim$ $\frac{1}{6}x^{3}$.

$\ln(1+x)$ $\sim x$;

$x$ $-$ $\ln(1+x)$ $\sim$ $\frac{1}{2}x^{2}$.

$x$ $-$ $\sin ax$

$x^{2}$ $\ln(1-bx)$

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $x$ $-$ $ax$ (1)

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $\sin x$ $-$ $\sin ax$ (2)

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $x$ $-$ $[ax$ $-$ $\frac{1}{6}$ $(ax)^{3}]$ $=$ $x$ $-$ $ax$ $+$ $\frac{1}{6}$ $a^{3}$ $x^{3}$ (3)

$x$ $-$ $\sin ax$ $=$ $\frac{1}{6}x^{3}$ $+$ $\sin x$ $-$ $\sin ax$ (4)

$x^{2}$ $\ln(1-bx)$ $=$ $x^{2}$ $(-bx)$ $=$ $-bx^{3}$ (5)

$x^{2}$ $\ln(1-bx)$ $=$ $x^{2}$ $[(-bx)$ $-$ $\frac{1}{2}$ $(-bx)^{2}]$ $=$ $-bx^{3}$ $-$ $\frac{1}{2}$ $b^{2}$ $x^{4}$ (6)

(1) 到 (6) 六个式子中变量 $x$ 的次方数情况如下：

(1): 只包含 $1$ 次方；

(2): 只包含 $1$ 次方；

(3): 包含 $1$ 次方和 $3$ 次方；

(4): 包含 $1$ 次方和 $3$ 次方；

(5): 只包含 $3$ 次方；

(6): 包含 $3$ 次方和 $4$ 次方。

$\frac{1}{6}a^{3}$ $=$ $-b$

$\left\{\begin{matrix}1-a=0,\\ \frac{1}{6}a^{3}=-b.\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} a=1,\\ b=-\frac{1}{6}.\end{matrix}\right.$

• 注意原式分子分母的无穷小类型（等价，高阶，低阶，同阶，$K$ 阶），计算过程中要以始终保持一致的无穷小类型为所有计算的前提；
• 使用常见等价无穷小化简的时候一般都是由繁化简，即化简的趋势都是使式子中尽可能只出现 $x$, 例如将 $\sin x$ 化为 $x$, 将 $\ln(1+x)$ 化为 $x$ 等。
• 此外，把式子中的一部分化为和另一部分相同类型的形式更有可能简化运算，例如在本题中，分母是 $x^{2}$ $\ln(1-bx)$, 则把 $\ln(1-bx)$ 化为 $-bx$ 显然会让式子在形式上更统一，更有利于后面的计算；
• 化简过程要严格按照公式进行，特别要注意负号和变量前面的参数，必要时要先加上括号维持原来的形式，之后一步步计算。

## QQ 邮箱漂流瓶功能将于 2019 年 06 月 24 日起停止服务

QQ 邮箱团队于 2019 年 04 月 23 日在 QQ 邮箱的漂流瓶页面以弹窗形式发布公告表示“因业务调整，‘QQ邮箱漂流瓶’功能将于2019年6月24日起终止服务”。

## 百度旅游发布公告称将于 2019 年 06 月 30 日全面停止服务

lvyou.baidu.com 公告

## Elon Musk: Just deleted my Twitter account

June 16, 2019, Elon Musk sent a tweet:

Screenshot is shown in figure A:

In addition, he replaced his account profile picture with a black picture. Since he posted that tweet (say he will delete his Twitter account), he hasn’t updated anything, including replying to messages.

Maybe it’s true, maybe it’s just a joke. Who knows?

12:05, June 18, 2019, UTC update:

Musk updated his profile picture:

## 一、题目

$(\sin x)’$ $=$ $\cos x$;

$(\ln x)’$ $=$ $\frac{1}{x}$;

$(ab)’$ $=$ $a’b$ $+$ $ab’$;

$f'(x)$ $=$ $f'[\phi(x)]$ $\cdot$ $\phi'(x)$.

• 对 $x$ 求导，则包括 $x$ 和其他常量都要按照求导公式进行计算，而除了 $x$ 之外的其他变量则只加上求导符号 (例如: $’$) 即可，不进行求导计算；
• 等式两边对同一变量求导后，等式仍然成立。因为求导前是等式，求导规则也一致，则求导后等式两边仍然恒等。

$y$ $-$ $f(x_{0})$ $=$ $f'(x_{0})$ $(x-x_{0})$.

$[\sin(xy)$ $+$ $\ln(y-x)]’$ $=$ $(x)’$ $\Rightarrow$ $\cos(xy)$ $(x’y+xy’)$ $+$ $\frac{1}{y-x}$ $(y-x)’$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $\cos(xy)$ $(y$ $+$ $xy’$ $)$ $+$ $\frac{1}{y-x}$ $(y’$ $-$ $1$ $)$ $=$ $1$.

$1$ $\cdot$ $1$ $+$ $1$ $\cdot$ $(y’$ $-$ $1$ $)$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $1$ $+$ $y’$ $-$ $1$ $=$ $1$ $\Rightarrow$ $y’$ $=$ $1$.

$y'(0)$ $=$ $1$.

$y$ $-$ $1$ $=$ $1$ $\cdot$ $($ $x$ $-$ $0$ $)$ $\Rightarrow$ $y$ $=$ $x$ $+$ $1$.

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## 一、题目

( A ) $0$.

( B ) $1$.

( C ) $2$.

( D ) $3$.

## 二、解析

(1) 定积分基本性质

$\int_{a}^{b}$ $f(x)$ $dx$ $=$ $\int_{a}^{b}$ $f(t)dt$;

(2) 变上限积分函数求导

• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则 $F(x)$ $=$ $\int_{a}^{x}$ $f(t)$ $dt$ 在 $[a,b]$ 上可导，且 $F'(x)$ $=$ $f(x)$.
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$\phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，设$F(x)$ $=$ $\int_{a}^{\phi(x)}$ $f(t)$ $dt$, 则：

$F'(x)$ $=$ $f[\phi(x)]$ $\cdot$ $\phi'(x)$.

$(x^{a})’$ $=$ $ax^{a-1}$;

$f'(x)$ $=$ $\ln(2+x^{2})$ $\cdot$ $(x^{2})’$ $=$ $2$ $x$ $\ln(2+x^{2})$.

(1) $2$ $x$ $=$ $0$ 且 $\ln(2+x^{2})$ $\neq$ $0$

(2) $2$ $x$ $\neq$ $0$ 且 $\ln(2+x^{2})$ $=$ $0$.

(3) $2$ $x$ $=$ $0$ 且 $\ln(2+x^{2})$ $=$ $0$

$2$ $x$ $=$ $\ln(2+x^{2})$ $=$ $0$ $\Rightarrow$ 无解.

$x$ $=$ $0$.

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