月份：2019年6月

题目

若 A,B 为任意两个随机事件，则 ( )

( A ) P(AB) \leqslant P(A)P(B).

( B ) P(AB) \geqslant P(A)P(B).

( C ) P(AB) \leqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}.

( D ) P(AB) \geqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}.

解析

我们知道，AB \Leftrightarrow A \cap B.

于是，我们知道，AB \subset A, AB \subset B.

接下来，根据概率的基本性质中的可比性：

设 A,B 是两个事件，若 A \subset B, 则有：

P(A) \leqslant P(B);

P(B-A)=P(B)-P(A).

于是，我们知道：

P(AB) \leqslant P(A); ①

P(AB) \leqslant P(B). ②

接下来，将 ① 式与 ② 式联立可得：

P(AB)+P(AB) \leqslant P(A)+P(B) \Leftrightarrow 2 \cdot P(AB) \leqslant P(A)+P(B) \Leftrightarrow P(AB) \leqslant \frac{P(A)+P(B)}{2}.

综上可知，本题的正确选项是：C

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先来看一下互斥事件与对立事件的定义。

互斥事件的定义：

互斥事件（互不相容）：当 AB= \varnothing (也可以写成 A \cap B=\varnothing)时，称事件 A 与 事件B 互不相容或互斥，事件 A,B 不能同时发生.

对立事件的定义：

对立事件（逆事件）：若 A \cup B=\Omega 且 A \cap B=\varnothing, 则称 A 与 B 互为逆事件，也称互为对立事件. A 的对立事件记为 \bar{A}.

总的来说，互斥事件是一个比对立事件更广泛一些的概念，这一点从互斥事件与对立事件各自的定义上也可以看出来。互斥事件只限制了 A \cap B = \varnothing, 而对立事件不仅限制了 A \cap B = \varnothing, 还限制了 A \cup B = \Omega. 很显然，互斥事件的限制范围更宽松，因此能表示的范围也更大。

我们可以将互斥事件和对立事件理解成包含和被包含的关系：

对立必然互斥，互斥不一定对立。

如果要用普通语言表述互斥事件与对立事件，那就是：

对立是要么一定且只能是我，要么就一定且只能是你；

互斥是如果不是我，则可能是你，也可能另外的其他人。

为了进一步辅助理解，我画了两张图，大致表示出了对立事件和互斥事件，如下。

图 1 表示 A 与 B 为对立事件时其相互之间的关系：

图 2 表示 A 与 B 为互斥事件时其 相互之间的关系：

注：本文中的 “\Omega” 表示当前语境下的样本空间，即当前语境下所有样本点组成的集合。

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题目

设函数 f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上连续，其 2 阶导函数 f''(x) 的图形如图 1 所示，则曲线 y=f(x) 的拐点的个数为 ( )

( A ) 0.

( B ) 1.

( C ) 2.

( D ) 3.

解析

如图 2 所示，令左边的曲线与 x 轴的交点为点 x_{1}, 坐标原点为点 x_{2}, 右边曲线与 x 轴的交点为点 x_{3}:

由于本题涉及 2 阶导数，因此可以通过拐点存在的充分条件中的第一充分条件来判定：

若曲线 y=f(x) 在 x=x_{0} 处 f''(x_{0})=0 (或 f''(x_{0}) 不存在，但 f(x) 在 x=x_{0} 处连续)，若 f''(x) 在 x_{0} 的左、右两侧邻域内异号，则 (x_{0},f(x_{0})) 为曲线 y=f(x) 的拐点。

我们知道，对于连续函数的图像曲线而言，拐点处的图像曲线要么等于零，要么不存在。图 2 中的 x_{1},x_{2},x_{3} ( f''(x_{2}) 虽然不存在，但是由题目中给出的“函数 f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上连续”的条件我们知道，f''(x_{2}) 在点 x_{2} 的左右两侧邻域是连续的，可能是原函数的一个拐点。)三个点均满足该条件。但是点 x_{1} 两侧的函数都为正(f''(x) 的图像在 x 轴上方)，因此，不满足“左右两侧邻域内异号”的条件，因此，点 x_{1} 不是函数 f(x) 的拐点。点 x_{2} 和 x_{3} 两侧邻域的函数图像均异号，因此点 x_{2} 和 x_{3} 满足函数拐点存在的充分条件，函数 f(x) 有两个拐点。

综上可知，本题的正确选项是：C

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题目

曲线 y=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}(x-4)^{4} 的拐点是 ( )

( A ) (1,0).

( B ) (2,0).

( C ) (3,0).

( D ) (4,0).

解析

本题主要涉及求导，曲线的凹凸性，曲线凹凸性的判定，拐点的定义，拐点存在的充分条件这些知识。

曲线凹凸性的定义如下：

设函数 f(x) 在区间 I 上连续，若对 I 上任意两点 x_{1}, x_{2}, 恒有：

f(\frac{x_{1}+x_{2}}{2})<(>)\frac{f(x_{1})+f(x_{2})}{2},

则称曲线 y=f(x) 在区间 I 上是向凹（凸）的.

曲线凹凸性的判定如下：

设函数 f(x) 在 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内具有二阶导数，那么：

① 如果在 (a,b) 内 f''(x)>0, 则曲线 y=f(x) 在 [a,b] 上是凹的;

② 如果在 (a,b) 内 f''(x)<0, 则曲线 y=f(x) 在 [a,b] 上是凸的.

拐点的定义如下：

设函数 f(x) 在区间 I 内连续，x_{0} 是 I 的内点，如果曲线 y=f(x) 在经过点 (x_{0},f(x_{0})) 时凹凸性发生了改变，则称点 (x_{0},f(x_{0})) 为曲线的拐点.

拐点存在的充分条件如下：

第一充分条件：若曲线 y=f(x) 在 x=x_{0} 处 f''(x_{0})=0 (或 f''(x_{0}) 不存在，但 f(x) 在 x=x_{0} 处连续)，若 f''(x) 在 x_{0} 的左右两侧邻域异号，则 (x_{0},f(x_{0})) 为曲线 y=f(x)的拐点.

第二充分条件：设 f(x) 在 x=x_{0} 的某邻域内有三阶导数，且 f''(x_{0})=0, f'''(x_{0})\neq0, 则 (x_{0},f(x_{0})) 为 f(x) 的拐点.

回到本题。本题的原式是：

y=(x-1)(x-2)^{2}(x-3)^{3}(x-4)^{4}.

观察可知，当 x=1,2,3,4 时都可以使 y=0, 而我们在找拐点的时候，最重要的就是找到哪个点是大于零的，哪个点是小于零的或者哪个点是等于零的，上面式子的设定从计算上来看可以很快地找到这些特殊点。

求拐点的过程中少不了要计算导数，但是上面的式子太长，求导之后会更长，为了方便计算，尽可能避免出错，我们作如下约定：

令：

A=(x-1);

B=(x-2)^{2};

C=(x-3)^{3};

D=(x-4)^{4}.

之后，我们有：

原式=y=ABCD.

于是我们有：

y'=A'BCD+A(BCD)';

y''=A''BCD+A'(BCD)'+A'(BCD)'+A(BCD)'';

y'''=A'''BCD+A''(BCD)'+A''(BCD)'+A'(BCD)''+A''(BCD)'+A'BCD''+A'(BCD)''+A(BCD)''';

令 y'=0, 则有：

y'(2)=y'(3)=y'(4)=0;

y'(1)\neq0. (x=1 对应 A, 但是 A' 是一个常数，不受 x 的影响，因此 x=1 不会使 y'=0, 以下计算过程中的判断与此类似.)

令 y''=0, 则有：

y''(3)=y''(4)=0;

y''(1)\neq0, y''(2)\neq0.

令 y'''=0, 则有：

y'''(4)=0;

y'''(1)\neq0, y'''(2)\neq0, y'''(3)\neq0.

通过上面的计算我们知道，y''(3)=0 且 y'''(3)\neq0, 因此，根据拐点存在的充分条件中的第二充分条件，点 (3,0) 是曲线 y 的拐点。

综上可知，本题的正确选项是：C

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