分类： 考研数学

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1 + \tan x} – \sqrt{1 – \sin x}}{e^{x} – 1} = ?
$$

难度评级：

一、前言

根据荒原之梦网的《高等数学中常用的等价无穷小》这篇文章可知，当 $x \rightarrow 0$ 时，有：

$$
\begin{cases}
& (1 + x)^{a} \sim ax; \\
& \sin x \sim \arcsin x \sim \tan x \sim \arctan x \sim x.
\end{cases}
$$

其中，$a$ 为常数。

在实际应用中，我们可以将上面的等价无穷小组合起来，形成新的“变体”，在本文中，将给出几个相关的例子。

一、题目

已知 $a, b, c$ 均为非零常数，则：

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{a + b \textcolor{orange}{e^{\frac{1}{x}}}}{a – b \textcolor{orange}{e^{\frac{1}{x}}}} \cdot \frac{\sin cx}{|x|} = ?
$$

难度评级：

一、题目

已知函数 $f(x)$ 在 $x = 1$ 处连续，且有 $f(1) = 1$, 则 $\lim_{x \rightarrow + \infty}$ $\ln [ 2 + f(x^{\frac{1}{x}}) ]$ $=$ $?$

难度评级：

一、前言

在本文中，荒原之梦网提供了两道“由一个形式的极限推导另一个形式的极限”的典型题目——

对于这类问题，我们有两种解决思路：

1. 由已知式推导未知式；
2. 由未知式反推已知式。

在本文中，我们将看到对上面这两种思路的应用。

一、题目

已知 $x_{0}$ $=$ $0$, 且 $x_{n}$ $=$ $\frac{1 + 2 x_{n-1}}{1 + x_{n-1}}$, 其中 $n$ $=$ $1, 2, 3, \cdots$, 则 $\lim_{n \rightarrow \infty}$ $x_{n}$ $=$ $?$

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{n \rightarrow \infty} n^{2} \big( \arctan \frac{2}{n} – \arctan \frac{2}{n+1} \big) = ?
$$

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+} } x^{a} \ln (x^{2} + x) = ?
$$

其中，$a > 0$.

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} x^{2} ( 2^{\frac{1}{x}} – 2^{\frac{1}{x + 1}} ) = ?
$$

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow \infty} ( e^{x^{2}} + x^{3} )^{\frac{1}{x^{2}}} = ?
$$

难度评级：

一、题目

$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 – \sqrt{\cos x})(1-\sqrt[3]{\cos x})}{\sin^{2} x^{2}} = ?
$$

难度评级：

一、前言

本文将介绍一种通用的方法，可以计算出当 $x$ $\rightarrow$ $0$ 时，所有 $1$ $-$ $(\cos cx)^{\frac{b}{a}}$ 类型式子的等价无穷小。

难度评级：