2017年考研数二第17题解析:利用定积分的定义将极限求和转定积分

题目

求:

limnk=1nkn2ln(1+kn).

解析

由题目所给式子中的 limnk=1n 可知,本题虽然看上去是一个极限求和的题目,但很显然,我们无法直接完成这个求和过程,只能利用定积分的定义将该式转换为定积分之后再求解,过程如下:

limnk=1nkn2ln(1+kn)

limnk=1nkn1nln(1+kn)

limnk=1n[knln(1+kn)]1n

注:

[1]. 从 式中的 1n 可知,积分区间的长度为 1, 该区间被分成了无数份,每份的长度为 1n;

[2]. 从 式中的 knln(1+kn) 的可知,变量可被视为 kn, 而且,当 k=1 时,kn=0, 当 k=n 时,kn=1, 因此,对应的积分区间就是 [0,1].

x=kn

01xln(1+x)dx

1201ln(1+x)d(x2)

12[x2ln(1+x)|0101x211+xdx]

12ln212[01(x21)+1x+1dx]

12ln212[01(x+1)(x1)+1x+1dx]

12ln212[01(x1)+1x+1dx]

12ln212[(12x2x)|01+ln(x+1)|01]

12ln212(12+ln2)

12ln2+1412ln2=14.


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