2017年考研数二第17题解析:利用定积分的定义将极限求和转定积分 题目 求: limn→∞∑k=1nkn2ln(1+kn). 解析 由题目所给式子中的 limn→∞∑k=1n 可知,本题虽然看上去是一个极限求和的题目,但很显然,我们无法直接完成这个求和过程,只能利用定积分的定义将该式转换为定积分之后再求解,过程如下: limn→∞∑k=1nkn2ln(1+kn)⇒ limn→∞∑k=1nkn⋅1nln(1+kn)⇒ ①limn→∞∑k=1n[knln(1+kn)]⋅1n①⇒ 注:[1]. 从 ①① 式中的 1n 可知,积分区间的长度为 1, 该区间被分成了无数份,每份的长度为 1n;[2]. 从 ①① 式中的 knln(1+kn) 的可知,变量可被视为 kn, 而且,当 k=1 时,kn=0, 当 k=n 时,kn=1, 因此,对应的积分区间就是 [0,1]. 令令x=kn⇒ ∫01xln(1+x)dx⇒ 12∫01ln(1+x)d(x2)⇒ 分部积分法分部积分法⇒ 12[x2ln(1+x)|01–∫01x2⋅11+xdx]⇒ 12ln2–12[∫01(x2−1)+1x+1dx]⇒ 12ln2–12[∫01(x+1)(x−1)+1x+1dx]⇒ 12ln2–12[∫01(x−1)+1x+1dx]⇒ 12ln2–12[(12x2–x)|01+ln(x+1)|01]⇒ 12ln2–12(−12+ln2)⇒ 12ln2+14–12ln2=14. 相关文章: 2017年考研数二第18题解析:导数、函数极值、单调性 2018年考研数二第17题解析:摆线、二重积分转二次积分、三角函数 2017年考研数二第20题解析:二重积分、二重积分的化简、直角坐标系转极坐标系 2010 年研究生入学考试数学一选择题第 1 题解析(三种方法) 2014年考研数二第15题解析:极限、等价无穷小、麦克劳林公式 2016年考研数二第21题解析:积分、变限积分、二重积分、零点 2015 年蓝桥杯 C 语言 B 组省赛第 3 题: 三羊献瑞 (三种方法 + 详细分析) 2016年考研数二第20题解析:旋转体的体积和表面积、参数方程、一重定积分 2018年考研数二第16题解析:变上限积分、一阶线性微分方程、积分中值定理 2014年考研数二第19题解析:变上限积分、函数的单调性、积分中值定理 2017年考研数二第15题解析:变限积分、洛必达法则、无穷小 2016 年蓝桥杯 C 语言 B 组省赛第 2 题: 生日蜡烛 (三种解法) 2017年考研数二第21题解析:不定积分、分离变量、直线方程 2011年考研数二第21题解析:二重积分、分部积分 2012年考研数二第21题解析:数列、零点定理、极限 2014年考研数二第17题解析:二重积分、极坐标系 2016年考研数二第18题解析:二重积分、二重积分的化简、极坐标系下二重积分的计算 2011年考研数二真题第13题解析:二重积分的计算,三种解法 2009 年研究生入学考试数学一选择题第 4 题解析 (两种解法) 2017年考研数二第16题解析:二阶偏导数、复合函数求导 2019年考研数二第03题解析 2011年考研数二第06题解析 [高数]有关变限积分求导的几种形式 2013年考研数二第21题解析:平面曲线的弧长、平面图形的形心 2013 年蓝桥杯 C 语言 B 组省赛第 3 题: 第39级台阶