2014年考研数二第17题解析：二重积分、极坐标系

题目

设平面区域 $D=$ $\{(x,y)|$ $1⩽x^2+y^2⩽4$, $x⩾0$, $y⩾0\}$, 计算：

$${\iint }_D\frac{x\sin (\pi \sqrt{x^2+y^2})}{x+y}dxdy.$$

解析

根据题目可知，积分区域 $D$ 是由两个圆心坐标均为 $(0,0)$, 半径分别为 $1$ 和 $2$ 的两个同心圆在直角坐标系的第一象限中围成的，如图 01 所示：

方法一

由于积分区域 $D$ 是关于直线 $x=y$ 对称的，因此，若令：

$$I={\iint }_D\frac{x\sin (\pi \sqrt{x^2+y^2})}{x+y}dxdy.$$

则：

$$I={\iint }_D\frac{y\sin (\pi \sqrt{x^2+y^2})}{x+y}dxdy.$$

于是：

$$I=$$

$$\frac{1}{2}[{\iint }_D\frac{x\sin (\pi \sqrt{x^2+y^2})}{x+y}dxdy+{\iint }_D\frac{y\sin (\pi \sqrt{x^2+y^2})}{x+y}dxdy]\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}{\iint }_D\frac{(x+y)\sin (\pi \sqrt{x^2+y^2})}{x+y}\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}{\iint }_D\sin (\pi \sqrt{x^2+y^2})\Rightarrow \mathrm{转}\mathrm{化}\mathrm{为}\mathrm{极}\mathrm{坐}\mathrm{标}\mathrm{系}\Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}{\iint }_D\sin (\pi r)\cdot rdrd\theta \Rightarrow$$

$$I=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta {\int }_1^{2}r\sin (\pi r)dr.$$

其中：

$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta =\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}.$$

$${\int }_1^{2}r\sin (\pi r)dr=$$

$$\frac{1}{{\pi }^2}{\int }_{\pi }^{2\pi }(\pi r)\sin (\pi r)d(\pi r)=$$

$$\frac{1}{{\pi }^2}{\int }_{\pi }^{2\pi }A\sin AdA=$$

$$\frac{-1}{{\pi }^2}{\int }_{\pi }^{2\pi }Ad(\cos A)\Rightarrow$$

$$\frac{-1}{{\pi }^2}[A\cos A{|}_{\pi }^{2\pi }–{\int }_{\pi }^{2\pi }\cos AdA]\Rightarrow$$

$$\frac{-1}{{\pi }^2}[A\cos A{|}_{\pi }^{2\pi }–\sin A{|}_{\pi }^{2\pi }]\Rightarrow$$

$$\frac{-1}{{\pi }^2}[2\pi +\pi –0]=\frac{-3}{\pi }.$$

于是：

$$I=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}d\theta {\int }_1^{2}r\sin (\pi r)dr\Rightarrow$$

$$I=\frac{\pi }{4}\cdot \frac{-3}{\pi }=\frac{-3}{4}.$$

方法二

$${\iint }_D\frac{x\sin (\pi \sqrt{x^2+y^2})}{x+y}rd\theta dr\Rightarrow \mathrm{转}\mathrm{化}\mathrm{为}\mathrm{极}\mathrm{坐}\mathrm{标}\mathrm{系}\Rightarrow$$

$${\iint }_D\frac{r\cos \theta \sin (\pi r)}{r\cos \theta +r\sin \theta }rd\theta dr\Rightarrow$$

$${\iint }_D\frac{\cos \theta \sin (\pi r)}{\sin \theta +\cos \theta }rd\theta dr\Rightarrow$$

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos \theta }{\sin \theta +\cos \theta }{\int }_1^{2}r\sin (\pi r)dr.$$

其中，由【方法一】可知：

$${\int }_1^{2}r\sin (\pi r)dr=\frac{-3}{\pi }.$$

又由于，在 $(0,\frac{\pi }{2})$ 内，$\sin \theta$ 和 $\cos \theta$ 的图象是关于直线 $x=\frac{\pi }{4}$ 对称的，因此：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos \theta }{\sin \theta +\cos \theta }d\theta ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin \theta }{\sin \theta +\cos \theta }d\theta$$

于是：

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos \theta }{\sin \theta +\cos \theta }d\theta =$$

$$\frac{1}{2}[{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos \theta }{\sin \theta +\cos \theta }d\theta +{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin \theta }{\sin \theta +\cos \theta }d\theta ]=$$

$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\sin \theta +\cos \theta }{\sin \theta +\cos \theta }d\theta =$$

$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1d\theta =\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}.$$

于是：

$${\iint }_D\frac{x\sin (\pi \sqrt{x^2+y^2})}{x+y}rd\theta dr=$$

$$\frac{-3}{\pi }\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{-3}{4}.$$

补充

除了上面所示的计算 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos \theta }{\sin \theta +\cos \theta }d\theta$ 的方式之外，还可以用如下方式完成对 ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos \theta }{\sin \theta +\cos \theta }d\theta$ 的求解。

$${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos \theta }{\sin \theta +\cos \theta }d\theta =$$

$$\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos \theta +\sin \theta +\cos \theta –\sin \theta }{\cos \theta +\sin \theta }d\theta =$$

$$\frac{1}{2}[{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{\cos \theta +\sin \theta }{\cos \theta +\sin \theta }d\theta +\frac{\cos \theta –\sin \theta }{\cos \theta +\sin \theta }]=$$

$$\frac{1}{2}[{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1d\theta +\frac{\cos \theta –\sin \theta }{\cos \theta +\sin \theta }]=$$

$$\frac{1}{2}[{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}1d\theta +\ln |\cos \theta +\sin \theta |{|}_0^{\frac{\pi }{2}}]=$$

$$\frac{1}{2}[\frac{\pi }{2}+\ln (0+1)–\ln (1+0)]=$$

$$\frac{1}{2}[\frac{\pi }{2}+0–0]=\frac{\pi }{4}.$$