2013年考研数二第21题解析：平面曲线的弧长、平面图形的形心

题目

设曲线 $L$ 的方程为 $y=\frac{1}{4}{x}^2–\frac{1}{2}\ln x$ $(1⩽x⩽e)$.

$(\mathrm{Ⅰ})$ 求 $L$ 的弧长；

$(\mathrm{Ⅱ})$ 设 $D$ 是由曲线 $L$, 直线 $x=1$, $x=e$ 及 $x$ 轴所围平面图形，求 $D$ 的形心的横坐标.

解析

第 $(\mathrm{Ⅰ})$ 问

结合题目，根据平面曲线的弧长计算公式，可得：

$$L={\int }_1^e\sqrt{1+(y^{‘}{)}^2}dx.$$

又：

$$y^{‘}=\frac{1}{2}x–\frac{1}{2x}=\frac{x^2-1}{2x}.$$

$$1+(y^{‘}{)}^2=1+(\frac{x^2-1}{2x}{)}^2\Rightarrow$$

$$1+(y^{‘}{)}^2=\frac{4x^2+(x^2-1{)}^2}{4x^2}\Rightarrow$$

$$1+(y^{‘}{)}^2=\frac{x^4+2x^2+1}{4x^2}\Rightarrow$$

$$1+(y^{‘}{)}^2=\frac{(x^2+1{)}^2}{4x^2}.$$

于是：

$$L={\int }_1^e\sqrt{1+(y^{‘}{)}^2}dx\Rightarrow$$

$$L={\int }_1^e\sqrt{\frac{(x^2+1{)}^2}{4x^2}}dx\Rightarrow$$

$$L={\int }_1^e\frac{x^2+1}{2x}dx\Rightarrow$$

$$L=\frac{1}{2}{\int }_1^e(x+\frac{1}{x})dx\Rightarrow$$

$$L=\frac{1}{2}[\frac{1}{2}{x}^2+\ln x]{|}_1^e\Rightarrow$$

$$L=\frac{1}{4}{e}^2+\frac{1}{4}=\frac{e^2+1}{4}.$$

第 $(\mathrm{Ⅱ})$ 问

设区域 $D$ 形心的横坐标为 $\bar{x}$, 则：

$$\bar{x}=\frac{{\iint }_{D}xdxdy}{{\iint }_{D}dxdy}\Rightarrow$$

$$\bar{x}=\frac{{\int }_1^{e}xdx{\int }_0^{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{2}\ln x}dy}{{\int }_1^{e}dx{\int }_0^{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{2}\ln x}dy}.$$

其中：

$${\int }_0^{\frac{x^2}{4}-\frac{1}{2}\ln x}dy=(\frac{x^2}{4}–\frac{1}{2}\ln x)+C.$$

于是：

$$\bar{x}=\frac{{\int }_1^{e}x(\frac{x^2}{4}–\frac{1}{2}\ln x)dx}{{\int }_1^e(\frac{x^2}{4}–\frac{1}{2}\ln x)dx}\Rightarrow$$

$$\bar{x}=\frac{{\int }_1^e(\frac{x^3}{4}–\frac{1}{2}x\ln x)dx}{{\int }_1^e(\frac{x^2}{4}–\frac{1}{2}\ln x)dx}\Rightarrow$$

$$\bar{x}=\frac{\frac{1}{4}{\int }_1^e{x}^{3}dx–\frac{1}{2}{\int }_1^{e}x\ln xdx}{\frac{1}{4}{\int }_1^e{x}^{2}dx–\frac{1}{2}{\int }_1^e\ln xdx}.$$

注：

[1]. $x\ln x$ 的原函数是 $\frac{1}{2}{x}^2\ln x–\frac{1}{4}{x}^2+C$, 推演过程可以参考：《$x\ln x$ 的原函数是多少？》;

[2]. $\ln x$ 的原函数是 $x\ln x–x+C$, 推演过程可以参考：《$\ln x$ 的原函数是多少？》.

其中：

$$\frac{1}{4}{\int }_1^e{x}^{3}dx–\frac{1}{2}{\int }_1^{e}x\ln xdx=$$

$$\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}{x}^4{|}_1^e–\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}{x}^2\ln x{|}_1^e+\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}{x}^2{|}_1^e=$$

$$\frac{e^4–1}{16}–\frac{e^2}{4}+\frac{e^2-1}{8}=$$

$$\frac{e^4–2e^2-3}{16}.$$

$$\frac{1}{4}{\int }_1^e{x}^{2}dx–\frac{1}{2}{\int }_1^e\ln xdx=$$

$$\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}{x}^3{|}_1^e–\frac{1}{2}x\ln x{|}_1^e+\frac{1}{2}x{|}_1^e=$$

$$\frac{e^3-1}{12}–\frac{e}{2}+\frac{e-1}{2}=$$

$$\frac{e^3-7}{12}.$$

综上可知：

$$\bar{x}=\frac{e^4–2e^2-3}{16}\cdot \frac{12}{e^3-7}\Rightarrow$$

$$\bar{x}=\frac{3(e^4–2e^2–3)}{4(e^3-7)}.$$