2012年考研数二第20题解析：求导、单调性、最值点、拐点

题目

证明：

$$x\ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x⩾1+\frac{x^2}{2}.$$

其中：

$$-1<x<1.$$

解析

由题可令：

$$f(x)=x\ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x–1–\frac{x^2}{2}.$$

若当 $-1<x<1$ 时，$f(x)⩾0$, 则题目得证。

又：

$$f^{‘}(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}+x\cdot (\ln \frac{1+x}{1-x}{)}^{‘}–\sin x–\frac{1}{2}\cdot 2x\Rightarrow$$

$$f^{‘}(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}+x\cdot [\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{1-x+1+x}{(1-x{)}^2}]–\sin x–x\Rightarrow$$

$$f^{‘}(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}+x\cdot [\frac{1-x}{1+x}\cdot \frac{2}{(1-x{)}^2}]–\sin x–x\Rightarrow$$

$$f^{‘}(x)=\ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{2x}{1-x^2}–\sin x–x.$$

接着：

$$f^{”}(x)=[f^{‘}(x){]}^{‘}\Rightarrow$$

$$f^{‘}(x)=(\ln \frac{1+x}{1-x}{)}^{‘}+(\frac{2x}{1-x^2}{)}^{‘}–(\sin x{)}^{‘}–(x{)}^{‘}\Rightarrow$$

$$f^{”}(x)=\frac{2}{1-x^2}+\frac{2(1-x^2)+4x^2}{(1-x^2{)}^2}–\cos x–1\Rightarrow$$

注：

[1]. 从计算 “$f^{‘}(x)$” 的过程可知：$(\ln \frac{1+x}{1-x}{)}^{‘}=\frac{2}{1-x^2}$.

$$f^{”}(x)=\frac{2}{1-x^2}+\frac{2}{1-x^2}–\cos x–1\Rightarrow$$

$$f^{”}(x)=\frac{4}{1-x^2}–\cos x–1.$$

当 $-1<x<1$ 时，有：

$$\frac{4}{1-x^2}>4,\cos x<1.$$

于是：

$$\frac{4}{1-x^2}–\cos x–1>0.$$

即：

$$f^{”}(x)>0.$$

因此，函数 $f(x)$ 是一个凹函数，有最小值点。

接下来，我们只需要找到这个最小值点，如果这个最小值点不小于零，那么，题目就得证了。找最小值的过程可分为以下三步：

第一步：

当 $-1<x<0$ 时，对 $f^{‘}(x)=$ $\ln \frac{1+x}{1-x}$ $+\frac{2x}{1-x^2}$ $-\sin x–x$ 而言，有如下判断：

根据 $y=\ln x$ 的函数图象可知，如果变量 $x$ 在区间 $(-1,0)$ 上稍微向靠近 “$-1$” 的方向移动一点，$\ln x$ 的值就会剧烈的向 $Y$ 轴的负半轴移动一大段距离，即得到一个特别大的负数。

而且，但 $x\in (-1,0)$ 时，$\frac{2x}{1-x^2}$ 也是一个负数。

因此：

$$|\ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{2x}{1-x^2}|>>|\sin x+x|$$

注：

[1]. 符号 “$>>$” 表示“远大于”。

于是，当 $-1<x<0$ 时：

$$f^{‘}(x)=(\ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{2x}{1-x^2})–(\sin x+x)<0.$$

第二步：

当 $0<x<1$ 时，对 $f^{‘}(x)=$ $\ln \frac{1+x}{1-x}$ $+\frac{2x}{1-x^2}$ $-\sin x–x$ 而言，有如下判断：

根据函数的大致图象可知（可以代入几个特殊点，试探着算出函数图象的大致走势），当 $x\in (0,1)$ 时，有：

$$\ln \frac{1+x}{1-x}>0,\frac{2x}{1-x^2}>0,\sin x>0,x>0.$$

而且，当变量 $x$ 在区间 $(0,1)$ 上向 “$1$” 的方向逐渐靠近时，$\frac{1+x}{1-x}$ 和 $\frac{2x}{1-x^2}$ 的数值增长速度都要高于 $\sin x$ 和 $x$ 的数值增长速度。

于是，当 $0<x<1$ 时：

$$f^{‘}(x)=(\ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{2x}{1-x^2})–(\sin x+x)>0.$$

第三步：

当 $x=0$ 时，有：

$$f^{‘}(x)=(\ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{2x}{1-x^2})–(\sin x+x)=$$

$$(0+0)–(0+0)=0.$$

于是，$(0,0)$ 为函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上的最小值点，且最小值为 $f(0)=0$. 即，当 $-1<x<1$ 时，$f(x)⩾0$, 本题得证。