题目
已知函数
$$
F(x) = \frac{\int_{0}^{x} \ln (1+t^{2}) dt}{x^{a}}.
$$
设 $\lim_{x \rightarrow + \infty} F(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} F(x) = 0$, 试求 $a$ 的取值范围.
解析
本题中包含变上限积分，这时候我们就要考虑是否可以利用求导（变上限积分求导比较方便），又由于函数 $F(x)$ 是用分式表示的，那么，对分子分母同时求导，就可以用上洛必达法则的性质了，本题也由此得解。
当 $x \rightarrow + \infty$ 时，有：
$$
\int_{0}^{x} \ln (1+t^{2}) dt \rightarrow \infty;
$$
$$
x^{a} \rightarrow \infty.
$$
于是，对 $\frac{\int_{0}^{x} \ln (1+t^{2}) dt}{x^{a}}$ 做一次洛必达运算，得：
$$
\frac{\ln (1+x^{2})}{a x^{a-1}}.
$$
此时，当 $x \rightarrow +\infty$ 时，有：
$$
\ln (1+x^{2}) \rightarrow \infty
$$
$$
a x^{a-1} \rightarrow \infty
$$
于是，对 $\frac{\ln (1+x^{2})}{a x^{a-1}}$ 再做一次洛必达运算，得：
$$
\frac{\frac{2x}{1+x^{2}}}{a \cdot (a-1) x^{a-2}} \Rightarrow (x \rightarrow + \infty, 只保留大头) \Rightarrow
$$
$$
\frac{\frac{1}{x}}{x^{a-2}} \Rightarrow
$$
$$
\frac{x^{-1}}{x^{a-2}}.
$$
若：
$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^{-1}}{x^{a-2}} = 0.
$$
则有：
$$
a-2>-1 \Rightarrow
$$
$$
a > 1.
$$
同理，当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时，有：
$$
\int_{0}^{x} \ln (1+t^{2}) dt \rightarrow 0;
$$
$$
x^{a} \rightarrow 0.
$$
于是，对 $\frac{\int_{0}^{x} \ln (1+t^{2}) dt}{x^{a}}$ 做一次洛必达运算，得：
$$
\frac{\ln (1+x^{2})}{a x^{a-1}} \Rightarrow 分子用等价无穷小 \Rightarrow
$$
$$
\frac{x^{2}}{ax^{a-1}} \Rightarrow 分母用同阶无穷小性质 \Rightarrow
$$
$$
\frac{x^{2}}{x^{a-1}}.
$$
则：
$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2}}{x^{a-1}} = 0 \Rightarrow
$$
$$
a-1 < 2 \Rightarrow
$$
$$
a<3.
$$
综上可知：
$$
1<a<3.
$$