2011年考研数二第15题解析:无穷小与无穷大及各自的层级比较、洛必达法则

题目

已知函数

F(x)=0xln(1+t2)dtxa.

limx+F(x)=limx0+F(x)=0, 试求 a 的取值范围.

解析

本题中包含变上限积分,这时候我们就要考虑是否可以利用求导(变上限积分求导比较方便),又由于函数 F(x) 是用分式表示的,那么,对分子分母同时求导,就可以用上洛必达法则的性质了,本题也由此得解。

x+ 时,有:

0xln(1+t2)dt;

xa.

于是,对 0xln(1+t2)dtxa 做一次洛必达运算,得:

ln(1+x2)axa1.

此时,当 x+ 时,有:

ln(1+x2)

axa1

于是,对 ln(1+x2)axa1 再做一次洛必达运算,得:

2x1+x2a(a1)xa2(x+,)

1xxa2

x1xa2.

若:

limx+x1xa2=0.

则有:

a2>1

a>1.

同理,当 x0+ 时,有:

0xln(1+t2)dt0;

xa0.

于是,对 0xln(1+t2)dtxa 做一次洛必达运算,得:

ln(1+x2)axa1

x2axa1

x2xa1.

则:

limx0+x2xa1=0

a1<2

a<3.

综上可知:

1<a<3.


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