2011年考研数二第15题解析:无穷小与无穷大及各自的层级比较、洛必达法则

题目

已知函数

$$
F(x) = \frac{\int_{0}^{x} \ln (1+t^{2}) dt}{x^{a}}.
$$

设 $\lim_{x \rightarrow + \infty} F(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} F(x) = 0$, 试求 $a$ 的取值范围.

解析

本题中包含变上限积分,这时候我们就要考虑是否可以利用求导(变上限积分求导比较方便),又由于函数 $F(x)$ 是用分式表示的,那么,对分子分母同时求导,就可以用上洛必达法则的性质了,本题也由此得解。

当 $x \rightarrow + \infty$ 时,有:

$$
\int_{0}^{x} \ln (1+t^{2}) dt \rightarrow \infty;
$$

$$
x^{a} \rightarrow \infty.
$$

于是,对 $\frac{\int_{0}^{x} \ln (1+t^{2}) dt}{x^{a}}$ 做一次洛必达运算,得:

$$
\frac{\ln (1+x^{2})}{a x^{a-1}}.
$$

此时,当 $x \rightarrow +\infty$ 时,有:

$$
\ln (1+x^{2}) \rightarrow \infty
$$

$$
a x^{a-1} \rightarrow \infty
$$

于是,对 $\frac{\ln (1+x^{2})}{a x^{a-1}}$ 再做一次洛必达运算,得:

$$
\frac{\frac{2x}{1+x^{2}}}{a \cdot (a-1) x^{a-2}} \Rightarrow (x \rightarrow + \infty, 只保留大头) \Rightarrow
$$

$$
\frac{\frac{1}{x}}{x^{a-2}} \Rightarrow
$$

$$
\frac{x^{-1}}{x^{a-2}}.
$$

若:

$$
\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{x^{-1}}{x^{a-2}} = 0.
$$

则有:

$$
a-2>-1 \Rightarrow
$$

$$
a > 1.
$$

同理,当 $x \rightarrow 0^{+}$ 时,有:

$$
\int_{0}^{x} \ln (1+t^{2}) dt \rightarrow 0;
$$

$$
x^{a} \rightarrow 0.
$$

于是,对 $\frac{\int_{0}^{x} \ln (1+t^{2}) dt}{x^{a}}$ 做一次洛必达运算,得:

$$
\frac{\ln (1+x^{2})}{a x^{a-1}} \Rightarrow 分子用等价无穷小 \Rightarrow
$$

$$
\frac{x^{2}}{ax^{a-1}} \Rightarrow 分母用同阶无穷小性质 \Rightarrow
$$

$$
\frac{x^{2}}{x^{a-1}}.
$$

则:

$$
\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2}}{x^{a-1}} = 0 \Rightarrow
$$

$$
a-1 < 2 \Rightarrow
$$

$$
a<3.
$$

综上可知:

$$
1<a<3.
$$


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