2012年考研数二第08题解析

题目

设 $A$ 为三阶矩阵，$P$ 为三阶可逆矩阵，且 $P^{-1}AP=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$. 若 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$, $Q=({\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$. 则 $Q^{-1}AQ=?$

$$A.\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

$$B.\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$

$$C.\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)$$

$$D.\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

解析

方法一

本题可以考虑使用特例法解出。使用特例法的好处是在找到合理的特例之后就只需要算，不需要太多逻辑上的推导。该方法特别适合做选择题，比较适合做填空题。

题中说 $P$ 是三阶可逆矩阵，因此，我们可以令：

$$P=E.$$

于是：

$$P^{-1}=E.$$

于是：

$$P^{-1}AP=EAE=A=$$

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$$

又：

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3);$$

$$Q=({\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2,{\alpha }_3).$$

于是：

$$Q=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

又由 $(Q,E)\to \mathrm{行}\mathrm{变}\mathrm{换}\to (E,Q^{-1})$ 可得：

$$Q^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

于是：

$$Q^{-1}AQ=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$$

方法二

本题还可以直接算，不用特殊值法。

由于：

$$P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3);$$

$$Q=({\alpha }_1+{\alpha }_2,{\alpha }_2,{\alpha }_3).$$

于是：

$$Q=$$

$$({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

若令：

$$K=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

则有：

$$Q=PK.$$

于是：

$$Q^{-1}=(PK{)}^{-1}=K^{-1}{P}^{-1}.$$

又由 $(K,E)\to \mathrm{行}\mathrm{变}\mathrm{换}\to (E,K^{-1})$ 知：

$$K^{-1}=$$

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

于是：

$$Q^{-1}AQ=$$

$$K^{-1}(P^{-1}AP)K=$$

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=$$

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right).$$

综上可知，正确选项为 $B$.

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