题目
设 $A$ 为三阶矩阵，$P$ 为三阶可逆矩阵，且 $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}$. 若 $P=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$, $Q=(\alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{2}, \alpha_{3})$. 则 $Q^{-1}AQ=?$
$$
A. \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
$$
B. \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
$$
$$
C. \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
$$
$$
D. \begin{pmatrix}
2 & 0 & 0\\
0 & 2 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
解析
方法一
本题可以考虑使用特例法解出。使用特例法的好处是在找到合理的特例之后就只需要算，不需要太多逻辑上的推导。该方法特别适合做选择题，比较适合做填空题。
题中说 $P$ 是三阶可逆矩阵，因此，我们可以令：
$$
P=E.
$$
于是：
$$
P^{-1} = E.
$$
于是：
$$
P^{-1} A P = EAE = A =
$$
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
$$
又：
$$
P=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3});
$$
$$
Q=(\alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{2}, \alpha_{3}).
$$
于是：
$$
Q = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
又由 $(Q, E) \rightarrow 行变换 \rightarrow (E, Q^{-1})$ 可得：
$$
Q^{-1}=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
-1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
于是：
$$
Q^{-1}AQ=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
$$
方法二
本题还可以直接算，不用特殊值法。
由于：
$$
P=(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3});
$$
$$
Q=(\alpha_{1} + \alpha_{2}, \alpha_{2}, \alpha_{3}).
$$
于是：
$$
Q=
$$
$$
(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3})
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
若令：
$$
K=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
则有：
$$
Q=PK.
$$
于是：
$$
Q^{-1} = (PK)^{-1} = K^{-1}P^{-1}.
$$
又由 $(K, E) \rightarrow 行变换 \rightarrow (E, K^{-1})$ 知：
$$
K^{-1} =
$$
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
-1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
于是：
$$
Q^{-1}AQ =
$$
$$
K^{-1}(P^{-1}AP)K =
$$
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
-1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
1 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
=
$$
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
$$
综上可知，正确选项为 $B$.
EOF