题目
设函数 $f(x)=$ $(e^{x}-1)(e^{2x}-2) \cdot \cdot \cdot (e^{nx}-n)$, 其中 $n$ 为正整数，则 $f^{‘}(0)=?$
$$
A. (-1)^{n-1}(n-1)!
$$
$$
B. (-1)^{n}(n-1)!
$$
$$
C. (-1)^{n-1}n!
$$
$$
D. (-1)^{n}n!
$$
解析
无论在试卷中遇到什么样的题目，我们首先要知道的是，这个题目一定有其对应的课本中的公式或者性质。因此，审题的过程中，我们首先要做的就是判断这道题到底要考察课本中的哪部分公式或者性质。
对于本题，由于要求的是 $f^{‘}(0)$, 也就是 $x=0$ 时，$f^{‘}(x)$ 的值，因此，我们可以考虑使用等价无穷小替换，并且，题目中给出的 $e^{x}-1$ 也有现成的等价无穷小替换公式可用。另外，本题还涉及了一阶导（不是 $n$ 阶导），因此，还可以考虑使用【导数的定义公式】求解——由于【导数的定义公式】更像是一个【定义】而非【公式】，因此，可能常常想不到要将其作为一个公式使用。其实，在考研真题中，已经多次出现将导数的定义公式作为一个公式使用的应用场景，这点要特别注意。
方法一
由于，当 $x \rightarrow 0$ 时：
注意：$x=0$ 和 $x \rightarrow 0$ 在一些情况下是可以等价使用的。
$$
e^{x} – 1 \sim x;
$$
$$
e^{2x} – 1 \sim 2x;
$$
$$
e^{3x} – 1 \sim 3x;
$$
$$
…
$$
于是：
$$
e^{x} – 1 \sim x;
$$
$$
e^{2x} – 2 = (e^{2x} – 1) – 1 \sim 2x-1;
$$
$$
e^{3x} – 3 = (e^{3x} – 1) – 2 \sim 3x – 2;
$$
$$
…
$$
即：
$$
f(x) =
$$
$$
x(2x-1)(3x-2)(4x-3)…[nx – (n-1)].
$$
注意：本题是一个选择题，因此，虽然题目中让我们算的式子含有 $n$, 但是，我们可以通过选特殊值并结合选项排除的方式找到正确答案，降低解题难度。
令 $n=1$, 则：
$$
f(x) = x \Rightarrow
$$
$$
f^{‘}(x) = 1.
$$
于是：
$$
f^{‘}(0) = 1.
$$
由此可排除 $C$, $D$ 两项。
令 $n=2$, 则：
$$
f(x) = x(2x-1) =
$$
$$
2x^{2} – x.
$$
于是：
$$
f^{‘}(x) = 4x – 1 \Rightarrow
$$
$$
f^{‘}(0) = -1.
$$
由此可排除 $B$ 选项，因此，$A$ 选项正确。如果为了进一步确认正确答案是不是 $A$, 我们还可以令 $n=3$ 继续验证一下上述判断。
方法二
由一阶导函数的定义可得：
$$
f^{‘}(0) =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x) – f(0)}{x – 0}.
$$
又：
$$
f(0) = 0.
$$
于是：
$$
f^{‘}(0) =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x} =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}-2) \cdot \cdot \cdot (e^{nx}-n)}{x}
$$
又，当 $x \rightarrow 0$ 时：
$$
e^{x} – 1 \sim x.
$$
于是：
$$
f^{‘}(0) =
$$
$$
\lim_{x \rightarrow 0} (e^{2x}-2)(e^{3x}-3) \cdot \cdot \cdot (e^{nx}-n) =
$$
$$
(-1)(-2)(-3) \cdot \cdot \cdot [-(n-1)] ①
$$
观察可知，$①$ 式中有 $n-1$ 个作为系数的 $-1$, 因此：
$$
f^{‘}(0) =
$$
$$
(-1)^{n-1} [1 \times 2 \times 3 \times \cdot \cdot \cdot \times (n-1)] =
$$
$$
(-1)^{n-1}(n-1)!.
$$
$$$$
$$$$
注意：
- 在通过 $①$ 式判断该式子的计算结果是为正还是为负的时候，我们可以想到，当 $①$ 式的项数有偶数个时，$①$ 式为正，当 $①$ 式的项数有奇数个时，$①$ 式为负。但是，我们还需要清楚的一点是，$①$ 式的项数有 $n-1$ 个而不是 $n$ 个，因此，项数是偶数个还是奇数个是由 $n-1$ 确定的，而不是由 $n$ 确定的。这点要特别注意，极易算错。
- $0!=1;$
- $1!=1.$
综上可知，正确选项为 $A$.
EOF