2013年考研数二第04题解析

题目

设函数 $f(x)=\{\begin{array}{c}\frac{1}{(x-1{)}^{a-1}},1<x<e,\\ \frac{1}{x{\ln }^{a+1}x},x⩾e.\end{array}$ 若反常积分 ${\int }_1^{+\mathrm{\infty }}f(x)dx$ 收敛，则 $?$

$$A.a<-2$$

$$B.a>2$$

$$C.-2<a<0$$

$$D.0<a<2$$

解析

本题可以参照常见反常积分敛散性的公式计算出来。

常见反常积分敛散性的公式如图 1 所示：

由于分段函数本质上仍然是【一个函数】，因此，如果分段函数对应的反常积分收敛，那么这个分段函数在【反常区间】内每一段函数对应的【积分】都要收敛，即：

$${\int }_1^e\frac{1}{(x-1{)}^{a-1}}dx\Rightarrow \mathrm{收}\mathrm{敛};$$

$${\int }_e^{+\mathrm{\infty }}\frac{1}{x{\ln }^{a+1}x}dx\Rightarrow \mathrm{收}\mathrm{敛}.$$

结合前面的公式，于是有：

$$a-1<1;$$

$$a+1>1.$$

于是：

$$0<a<2.$$

综上可知，正确选项为 $D$.

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