题目
设函数 $f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{(x-1)^{a-1}}, 1 < x < e,\\
\frac{1}{x \ln^{a+1} x}, x \geqslant e.
\end{matrix}\right.$ 若反常积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x)dx$ 收敛，则 $?$
$$
A. a < -2
$$
$$
B. a > 2
$$
$$
C. -2 < a < 0
$$
$$
D. 0 < a < 2
$$
解析
本题可以参照常见反常积分敛散性的公式计算出来。
常见反常积分敛散性的公式如图 1 所示：
由于分段函数本质上仍然是【一个函数】，因此，如果分段函数对应的反常积分收敛，那么这个分段函数在【反常区间】内每一段函数对应的【积分】都要收敛，即：
$$
\int_{1}^{e} \frac{1}{(x-1)^{a-1}}dx \Rightarrow 收敛;
$$
$$
\int_{e}^{+\infty} \frac{1}{x \ln^{a+1} x} dx \Rightarrow 收敛.
$$
结合前面的公式，于是有：
$$
a-1<1;
$$
$$
a+1>1.
$$
于是：
$$
0<a<2.
$$
综上可知，正确选项为 $D$.
EOF