2013年考研数二第04题解析

题目

设函数 $f(x)=\left\{\begin{matrix}
\frac{1}{(x-1)^{a-1}}, 1 < x < e,\\
\frac{1}{x \ln^{a+1} x}, x \geqslant e.
\end{matrix}\right.$ 若反常积分 $\int_{1}^{+\infty} f(x)dx$ 收敛,则 $?$

$$
A. a < -2
$$

$$
B. a > 2
$$

$$
C. -2 < a < 0
$$

$$
D. 0 < a < 2
$$

解析

本题可以参照常见反常积分敛散性的公式计算出来。

常见反常积分敛散性的公式如图 1 所示:

图 1.

由于分段函数本质上仍然是【一个函数】,因此,如果分段函数对应的反常积分收敛,那么这个分段函数在【反常区间】内每一段函数对应的【积分】都要收敛,即:

$$
\int_{1}^{e} \frac{1}{(x-1)^{a-1}}dx \Rightarrow 收敛;
$$

$$
\int_{e}^{+\infty} \frac{1}{x \ln^{a+1} x} dx \Rightarrow 收敛.
$$

结合前面的公式,于是有:

$$
a-1<1;
$$

$$
a+1>1.
$$

于是:

$$
0<a<2.
$$

综上可知,正确选项为 $D$.

EOF


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