2013年考研数二第03题解析

题目

设函数 f(x)={sinx,0x<π,2,πx2π, F(x)=0xf(t)dt, 则 ?

A.x=πF(x)

B.x=πF(x)

C.F(x)x=π

D.F(x)x=π

解析

解答本题,首先需要理解变限积分的几何意义,关于这部分内容,可以参考下面这篇文章:

[高数]如何理解变限积分的几何含义

由于 f(x) 的变限积分实际上是描述的 f(x) 与坐标轴和积分区间 [0,x] 围成的面积随 x 的变化而变化的状态,其反映的其实是一种【积分面积的累积变化】。因此,当这个变化过程中存在有限个【可去间断点】或者【跳跃间断点】的时候,我们认为,【积分面积的累积变化】相对于没有这些间断点的情况是没有任何改变的,也就是说,此时,积分面积的变化状态仍然是【连续】的。

但是,如果在变限积分的积分区间内存在【无穷间断点】或者【震荡间断点】这样的能带来显著面积特征改变的间断点,那么,变限积分【积分面积的累积变化】就会因此被扰动,从而可能使积分面积的变化变得【不连续】。

在本题中,由于 sinπ=02, 因此,x=π 对应于 f(x) 的跳跃间断点,于是,对应的变限积分 0xf(t)dtx=π 处是连续的。

由上述分析,可以排除 A, B 两个选项。

又,当 0x<π 时,有:

F(x)=0xsintdt

F(x)=sinx

limxπsinx=0+=0.

πx2π 时,有:

F(x)=0x2dt

F(x)=2

limxπ+2=2.

由于 02, 因此, 在 x=π 处,F(x) 不可导。

注意:C, D 两个选项都涉及了【是否可导】这个问题,因此,C, D 两个选项是极为相似的【迷惑选项】,根据【一般的】出题规律,出题人为了考察考生的解题能力,一般都会把正确选项隐藏在这样【具有某种相似特征】的【迷惑选项】中。而且,一般包含变限积分的题目都会涉及对变限积分的求导,但 A, B 两个选项都没提求导的事,因此,CD 二者之一可能为正确答案 ——

该分析仅供参考,不保证所有题目都有上述规律。

综上可知,正确选项为 C.

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