2015年考研数二第13题解析

题目

若函数 $z=z(x,y)$ 由方程 $e^{x+2y+3z}+xyz=1$ 确定，则 $dz{|}_{(0,0)}=?$

解析

$dz$ 表示对 $z$ 的微分，公式如下：

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy.$$

于是，要想求出 $dz$, 必须求出 $z$ 对 $x$ 的偏导和 $z$ 对 $y$ 的偏导。

在 $e^{x+2y+3z}+xyz=1$ 式子等号两端对 $x$ 求偏导，得：

$$e^{x+2y+3z}\cdot (1+3\frac{\partial z}{\partial x})+yz+xy\frac{\partial z}{\partial x}=0.\mathrm{①}$$

在 $e^{x+2y+3z}+xyz=1$ 式子等号两端对 $y$ 求偏导，得：

$$e^{x+2y+3z}\cdot (2+3\frac{\partial z}{\partial y})+xz+xy\frac{\partial z}{\partial y}=0.\mathrm{②}$$

又，把 $x=0$, $y=0$ 带入 $e^{x+2y+3z}+xyz=1$, 得：

$$e^{3z}+0=1\Rightarrow$$

$$3z=0\Rightarrow z=0.$$

把 $x=0$, $y=0$, $z=0$ 分别带入 $\mathrm{①}$, $\mathrm{②}$ 两式，得：

$$1+3\frac{\partial z}{\partial x}=0\Rightarrow \frac{\partial z}{\partial x}=–\frac{1}{3}.$$

$$2+3\frac{\partial z}{\partial y}=0\Rightarrow \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{2}{3}.$$

于是：

$$dz=-\frac{1}{3}dx–\frac{2}{3}dy.$$

综上可知，正确答案为 $-\frac{1}{3}dx–\frac{2}{3}dy$.

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