2018年考研数二第13题解析

题目

设函数 $z=z(x,y)$ 由方程 $\ln z+e^{z-1}=xy$ 确定，则 $\frac{\partial z}{\partial x}{|}_{(2,\frac{1}{2})}=?$

解析

本题就是隐函数求导。

本题要注意的关键点之一是字母 $z$ 的书写方式，因为，$z$ 这个字母写不好的话极易发生混淆。

关于 $z$ 的书写方式可以参考图 1:

由于要计算的式子中含有 $\frac{\partial z}{\partial x}$, 于是，在式子 $\ln z+e^{z-1}=xy$ 两端对 $x$ 求偏导，得：

$$(\ln z{)}_x^{‘}+(e^{z-1}{)}_x^{‘}=y\Rightarrow$$

$$\frac{1}{z}\frac{\partial z}{\partial x}+e^{z-1}\frac{\partial z}{\partial x}=y\Rightarrow$$

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y}{\frac{1}{z}+e^{z-1}}.\mathrm{①}$$

又因为，当 $x=2,y=\frac{1}{2}$ 时，有：

$$\ln z+e^{z-1}=1.$$

此时，必然有：

$$z=1.$$

将 $x,y,z$ 的数值带入 $\mathrm{①}$ 式得：

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\frac{1}{2}}{1+1}=\frac{1}{4}.$$

综上可知，正确答案为 $\frac{1}{4}$.

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