解决无穷小量取舍问题的一个思路：让小泡泡汇聚成大泡泡

一、前言

在解决含有无穷小量问题的时候，我们常常需要面对的问题就是：

什么时候该将无穷小量考虑进运算结果中？什么时候又该将无穷小量舍去？

在本文中，「荒原之梦考研数学」就借助“小泡泡转为大泡泡”的现象，为同学们讲明白，如何通过让大的无穷小更大，让小的无穷小更小的“分化融合”方法，来明确无穷小量在具体计算过程中的取舍。

二、正文

小泡泡变成大泡泡才有用

首先，同学们来看一看下面这个式子是否成立：

$$
\textcolor{yellow}{
\left( 1 + \textcolor{black}{\colorbox{orange}{0}} \right) \left( 1 + \textcolor{black}{\colorbox{orange}{0}} \right) \left( 1 + \textcolor{black}{\colorbox{orange}{0}} \right) = 1 } \tag{1}
$$

很显然，上面的式子是成立。

若已知 $a_{1}$, $a_{2}$, $\cdots$, $a_{n}$ 为常数，那么，下面这个式子是否成立呢：

$$
\textcolor{yellow}{
\begin{aligned}
& \ \lim_{ x \rightarrow + \infty } \left( 1+\frac{ a_{1}}{x} \right) \left( 1+\frac{a_{2}}{x} \right) \cdots \left( 1+\frac{a_{n}}{x} \right) \\ \\
= & \ \left( 1 + \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} \right) \left( 1 + \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} \right) \cdots \left( 1 + \textcolor{white}{\colorbox{green}{0}} \right) \\ \\
= & \ 1
\end{aligned}
} \tag{2}
$$

很显然，$(1)$ 式中的 $\textcolor{black}{\colorbox{orange}{0}}$ 是真的 $0$, 而 $(2)$ 式中的 $\textcolor{white}{\colorbox{green}{0}}$ 只是无穷小量，所以，在有些情况下，$(2)$ 式中的结论是不正确的。

那么，我们应该怎么处理 $(2)$ 式中的无穷小量呢？

方法就是：“抱团”——

也就是让小的更小，大的更大，就像一个肥皂泡吞噬合并其他肥皂泡，最终会形成一个较大的肥皂泡，剩下一些比较小的肥皂泡。

在前面的图 01 中，我们用较大的圆圈表示高阶无穷小，用较小的圆圈表示低阶无穷小，完成大圈圈合并小圈圈的一部分之后，就能更好地在运算过程中判断哪些无穷小量有用，哪些无穷小量没有用。

回到本文开头的例子，因为：

$$
\begin{aligned}
& \ \lim_{ x \rightarrow + \infty } \left( 1+\frac{ a_{1}}{x} \right) \left( 1+\frac{a_{2}}{x} \right) \\ \\
\Rightarrow & \ \lim_{ x \rightarrow + \infty } \left( 1 + \frac{a_{1}}{x} + \frac{a_{2}}{x} + \textcolor{orange}{ \frac{a_{1} a_{2}}{x^{2}} } \right) \\ \\
\Rightarrow & \ \textcolor{gray}{ b_{2} = a_{1} a_{2} } \\ \\
\Rightarrow & \ \lim_{ x \rightarrow + \infty } \left( 1 + \textcolor{magenta}{ \frac{a_{1}}{x} + \frac{a_{2}}{x} } + \textcolor{orange}{ \frac{b_{2}}{x^{2}} } \right) \\ \\
\Rightarrow & \ \lim_{ x \rightarrow + \infty } \left( 1 + \textcolor{magenta}{ \frac{1}{x} \sum_{ k=1 }^{2} a_{k} } + \frac{b_{2}}{x^{2}} \right)
\end{aligned}
$$

于是，当 $x \rightarrow + \infty$ 的时候，有：

$$
\textcolor{springgreen}{
\begin{aligned}
& \ \lim_{ x \rightarrow + \infty } \left( 1+\frac{ a_{1}}{x} \right) \left( 1 + \frac{a_{2}}{x} \right) \cdots \left( 1+\frac{a_{n}}{x} \right) \\ \\
= & \ 1 + \frac{1}{x} \sum_{ k=1 }^{n} a_{k} + \frac{ b_{2}}{ x^{2} } + \cdots + \frac{ b_{n}}{ x^{n}}
\end{aligned}
}
$$

其中 $b_{2}$, $\cdots$, $b_{n}$ 为常数。

例题

那么，上面这种小泡泡汇聚成大泡泡的变形方式有什么用呢？我们可以看看下面这道题目：

$$
\begin{aligned}
& \ I \\
= & \ \lim_{ x \rightarrow +\infty } \left[\sqrt[n] {\left( x + a_{1} \right) \left( x + a_{2} \right) \cdots \left( x + a_{n} \right) } – x \right]
\end{aligned}
$$

由于，当 $x \rightarrow 0$ 且 $a$ 为常数的时候，有：

$$
\textcolor{yellow}{
( 1+x )^{a} – 1 \sim a x
}
$$

所以：

$$
\begin{aligned}
& \ I \\
= & \ \lim_{ x \rightarrow +\infty } \left[\sqrt[n] {\left( x + a_{1} \right) \left( x + a_{2} \right) \cdots \left( x + a_{n} \right) } – x \right] \\ \\
= & \ \lim_{ x \rightarrow + \infty } x \left[ \sqrt[n] { \left( 1+\frac{ a_{1}}{x} \right) \left( 1+\frac{a_{2}}{x} \right) \cdots \left( 1+\frac{a_{n}}{x} \right) } – 1 \right] \\ \\
= & \ \lim_{ x \rightarrow +\infty } x \left[ \sqrt[n]{ 1 + \textcolor{orange}{ \left[ \left( 1+\frac{a_{1}}{x} \right) \left( 1+\frac{ a_{2}}{x} \right) \cdots \left( 1 + \frac{a_{n}}{x} \right) – 1 \right] } } – 1 \right] \\ \\
= & \ \lim_{ x \rightarrow +\infty } x \cdot \frac{1}{n} \textcolor{orange}{ \left[ \left( 1 + \frac{a_{1}}{x} \right) \left( 1+\frac{ a_{2}}{x} \right) \cdots \left( 1 + \frac{ a_{n}}{x} \right) – 1 \right] } \\ \\
= & \ \lim_{ x \rightarrow +\infty } x \cdot \frac{1}{n} \left[ \textcolor{orangered}{ \left( 1 + \frac{a_{1}}{x} \right) \left( 1+\frac{ a_{2}}{x} \right) \cdots \left( 1 + \frac{ a_{n}}{x} \right) } – 1 \right] \\ \\
= & \ \lim_{ x \rightarrow +\infty } x \cdot \frac{1}{n} \left[ \textcolor{orangered}{ 1 + \frac{1}{x} \sum_{ k=1 }^{n} a_{k} + \frac{ b_{2}}{ x^{2} } + \cdots + \frac{ b_{n}}{ x^{n}} } – 1 \right] \\ \\
= & \ \lim_{ x \rightarrow +\infty } \frac{x}{n} \left( \frac{1}{x} \sum_{ k=1 }^{n} a_{k} + \frac{ b_{2}}{ x^{2}} + \cdots + \frac{ b_{n}}{ x^{n}} \right) \\ \\
= & \ \lim_{ x \rightarrow +\infty } \frac{x}{n} \left( \frac{1}{x} \sum_{ k=1 }^{n} a_{k} + \frac{ b_{2}}{ x^{2}} + \cdots + \frac{ b_{n}}{ x^{n}} \right) \\ \\
= & \ \lim_{ x \rightarrow +\infty } \left( \frac{1}{n} \sum_{ k=1 }^{n} a_{k} + \textcolor{gray}{ \frac{ b_{2}}{x} } + \textcolor{gray}{ \cdots } + \textcolor{gray}{ \frac{ b_{n}}{ x^{n-1}} } \right) \\ \\
= & \ \lim_{ x \rightarrow +\infty } \left( \frac{1}{n} \sum_{ k=1 }^{n} a_{k} + \textcolor{gray}{ 0 } + \textcolor{gray}{ \cdots } + \textcolor{gray}{ 0 } \right) \\ \\
= & \ \lim_{ x \rightarrow +\infty } \frac{1}{n} \sum_{ k=1 }^{n} a_{k} \\ \\
= & \ \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ \frac{1}{n} \sum_{ k=1 }^{n} a_{k} }}
\end{aligned}
$$

---