解决无穷小量取舍问题的一个思路:让小泡泡汇聚成大泡泡

一、前言 前言 - 荒原之梦

在解决含有无穷小量问题的时候,我们常常需要面对的问题就是:

什么时候该将无穷小量考虑进运算结果中?什么时候又该将无穷小量舍去?

在本文中,「荒原之梦考研数学」就借助“小泡泡转为大泡泡”的现象,为同学们讲明白,如何通过让大的无穷小更大,让小的无穷小更小的“分化融合”方法,来明确无穷小量在具体计算过程中的取舍。

二、正文 正文 - 荒原之梦

小泡泡变成大泡泡才有用

解决无穷小量取舍问题的一个思路:让小泡泡汇聚成大泡泡 | 荒原之梦考研数学
图 01. 无穷小有没有用?抱团了才知道。

首先,同学们来看一看下面这个式子是否成立:

(1)(1+0)(1+0)(1+0)=1

很显然,上面的式子是成立。

若已知 a1, a2, , an 为常数,那么,下面这个式子是否成立呢:

(2) limx+(1+a1x)(1+a2x)(1+anx)= (1+0)(1+0)(1+0)= 1

很显然,(1) 式中的 0 是真的 0, 而 (2) 式中的 0 只是无穷小量,所以,在有些情况下,(2) 式中的结论是不正确的。

那么,我们应该怎么处理 (2) 式中的无穷小量呢?

方法就是:“抱团”——

也就是让小的更小,大的更大,就像一个肥皂泡吞噬合并其他肥皂泡,最终会形成一个较大的肥皂泡,剩下一些比较小的肥皂泡。

在前面的图 01 中,我们用较大的圆圈表示高阶无穷小,用较小的圆圈表示低阶无穷小,完成大圈圈合并小圈圈的一部分之后,就能更好地在运算过程中判断哪些无穷小量有用,哪些无穷小量没有用。

回到本文开头的例子,因为:

 limx+(1+a1x)(1+a2x) limx+(1+a1x+a2x+a1a2x2) b2=a1a2 limx+(1+a1x+a2x+b2x2) limx+(1+1xk=12ak+b2x2)

于是,当 x+ 的时候,有:

 limx+(1+a1x)(1+a2x)(1+anx)= 1+1xk=1nak+b2x2++bnxn

其中 b2, , bn 为常数。

例题

那么,上面这种小泡泡汇聚成大泡泡的变形方式有什么用呢?我们可以看看下面这道题目:

 I= limx+[(x+a1)(x+a2)(x+an)nx]

由于,当 x0a 为常数的时候,有:

(1+x)a1ax

所以:

 I= limx+[(x+a1)(x+a2)(x+an)nx]= limx+x[(1+a1x)(1+a2x)(1+anx)n1]= limx+x[1+[(1+a1x)(1+a2x)(1+anx)1]n1]= limx+x1n[(1+a1x)(1+a2x)(1+anx)1]= limx+x1n[(1+a1x)(1+a2x)(1+anx)1]= limx+x1n[1+1xk=1nak+b2x2++bnxn1]= limx+xn(1xk=1nak+b2x2++bnxn)= limx+xn(1xk=1nak+b2x2++bnxn)= limx+(1nk=1nak+b2x++bnxn1)= limx+(1nk=1nak+0++0)= limx+1nk=1nak= 1nk=1nak


荒原之梦考研数学思维导图
荒原之梦考研数学思维导图

高等数学箭头 - 荒原之梦

涵盖高等数学基础概念、解题技巧等内容,图文并茂,计算过程清晰严谨。

线性代数箭头 - 荒原之梦

以独特的视角解析线性代数,让繁复的知识变得直观明了。

特别专题箭头 - 荒原之梦

通过专题的形式对数学知识结构做必要的补充,使所学知识更加连贯坚实。

荒原之梦考研数学网 | 让考场上没有难做的数学题!

荒原之梦网全部内容均为原创,提供了涵盖考研数学基础知识、考研数学真题、考研数学练习题和计算机科学等方面,大量精心研发的学习资源。

豫 ICP 备 17023611 号-1 | 公网安备 - 荒原之梦 豫公网安备 41142502000132 号 | SiteMap
Copyright © 2017-2024 ZhaoKaifeng.com 版权所有 All Rights Reserved.

Copyright © 2024   zhaokaifeng.com   All Rights Reserved.
豫ICP备17023611号-1
 豫公网安备41142502000132号

荒原之梦 自豪地采用WordPress