一、前言
在解决含有无穷小量问题的时候,我们常常需要面对的问题就是:
什么时候该将无穷小量考虑进运算结果中?什么时候又该将无穷小量舍去?
在本文中,「荒原之梦考研数学」就借助“小泡泡转为大泡泡”的现象,为同学们讲明白,如何通过让大的无穷小更大,让小的无穷小更小的“分化融合”方法,来明确无穷小量在具体计算过程中的取舍。
二、正文
小泡泡变成大泡泡才有用
首先,同学们来看一看下面这个式子是否成立:
很显然,上面的式子是成立。
若已知
很显然,
那么,我们应该怎么处理
方法就是:“抱团”——
也就是让小的更小,大的更大,就像一个肥皂泡吞噬合并其他肥皂泡,最终会形成一个较大的肥皂泡,剩下一些比较小的肥皂泡。
在前面的图 01 中,我们用较大的圆圈表示高阶无穷小,用较小的圆圈表示低阶无穷小,完成大圈圈合并小圈圈的一部分之后,就能更好地在运算过程中判断哪些无穷小量有用,哪些无穷小量没有用。
回到本文开头的例子,因为:
于是,当
其中
例题
那么,上面这种小泡泡汇聚成大泡泡的变形方式有什么用呢?我们可以看看下面这道题目:
由于,当
所以:
高等数学
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