求三角函数的 $n$ 阶导：先降幂

一、题目

已知 $y(x)$ $=$ ${\sin }^{3}x$ $+$ $\sin x\cos x$, 则：

$$y^{(n)}=?$$

难度评级：

二、解析

本文让我们求解函数 $y(x)$ 的 $n$ 阶导，一般情况下，我们求解一个函数的 $n$ 阶导，可以采用归纳法，但在本题中，为了计算的方便，我们首先需要给式子“降幂”。

对于三次方三角函数的降幂需要用到三倍角公式，根据「荒原之梦考研数学」的《三角函数的三倍角公式》可知：

$$\begin{array}{rl}& \sin 3x=3\sin x–4{\sin }^{3}x\\ \\ \iff & {\sin }^{3}x=\frac{1}{4}(3\sin x–\sin 3x)\\ \\ \iff & {\sin }^{3}x=\frac{3}{4}\sin x–\frac{1}{4}\sin 3x\end{array}$$

又根据二倍角公式，可知：

$$\begin{array}{rl}& \sin 2x=2\sin x\cos x\\ \\ \iff & \sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x\end{array}$$

于是：

$$\begin{array}{rl}y(x)& ={\sin }^{3}x+\sin x\cos x\\ \\ & =\frac{3}{4}\sin x–\frac{1}{4}\sin 3x+\frac{1}{2}\sin 2x\end{array}$$

接着，根据「荒原之梦考研数学」的《用归纳法求函数的 $n$ 阶导》可知：

$$\begin{array}{rl}& {\sin }^{(n)}(kx+b)=k^n\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{2}+b)\\ \\ \Rightarrow & {\sin }^{(n)}(kx)=k^n\sin (kx+\frac{n\pi }{2})\\ \\ \Rightarrow & \{\begin{array}{l}{\sin }^{(n)}x=\sin (x+\frac{n\pi }{2})\\ {\sin }^{(n)}3x=3^n\sin (3x+\frac{n\pi }{2})\\ {\sin }^{(n)}2x=2^n\sin (2x+\frac{n\pi }{2})\end{array}\end{array}$$

综上：

$$\begin{array}{rl}& y^{(n)}(x)\\ \\ =& \frac{3}{4}\sin (x+\frac{n}{2}\pi )–\frac{3^n}{4}\sin (3x+\frac{n}{2}\pi )+2^{n-1}\sin (2x+\frac{n\pi }{2})\end{array}$$

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