求三角函数的 n 阶导:先降幂

一、题目题目 - 荒原之梦

已知 y(x) = sin3x + sinxcosx, 则:

y(n)=?

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

本文让我们求解函数 y(x)n 阶导,一般情况下,我们求解一个函数的 n 阶导,可以采用归纳法,但在本题中,为了计算的方便,我们首先需要给式子“降幂”。

对于三次方三角函数的降幂需要用到三倍角公式,根据「荒原之梦考研数学」的《三角函数的三倍角公式》可知:

sin3x=3sinx4sin3x sin3x=14(3sinxsin3x) sin3x=34sinx14sin3x

又根据二倍角公式,可知:

sin2x=2sinxcosx sinxcosx=12sin2x

于是:

y(x)=sin3x+sinxcosx=34sinx14sin3x+12sin2x

接着,根据「荒原之梦考研数学」的《用归纳法求函数的 n 阶导》可知:

sin(n)(kx+b)=knsin(kx+nπ2+b) sin(n)(kx)=knsin(kx+nπ2) {sin(n)x=sin(x+nπ2)sin(n)3x=3nsin(3x+nπ2)sin(n)2x=2nsin(2x+nπ2)

综上:

y(n)(x)= 34sin(x+n2π)3n4sin(3x+n2π)+2n1sin(2x+nπ2)


荒原之梦考研数学思维导图
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