用定积分的定义证明两个定积分的常用性质

一、题目

请证明下面的定积分的性质：

$$\begin{array}{rl}{\int }_a^{b}1\mathrm{d}x=& b–a\\ {\int }_a^{b}kf(x)\mathrm{d}x=& k{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\end{array}$$

难度评级：

二、解析

Note

本文中的两个式子的证明都比较简单，因此，本文的主要作用是让同学们熟悉用定积分的定义证明一些积分定理的一般方式。

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对 ${\int }_a^{b}1\mathrm{d}x$ $=$ $b–a$ 的证明

首先，将区间 $[a,b]$ 划分为 $n$ 份，每一份的宽度记为 $\mathrm{\Delta }{x}_i$, 每一份的高度则固定为 $1$, 因此：

$$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}1\mathrm{d}x\\ \\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[\sum _{i=1}^n(1\cdot \mathrm{\Delta }{x}_i)\right]\\ \\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_i\right]\end{array}$$

由于 $\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_i$ 表示将 $n$ 份 $\mathrm{\Delta }{x}_i$ 相加，所得的结果也就是区间 $[a,b]$ 的长度，于是：

$$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}1\mathrm{d}x\\ \\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[\sum _{i=1}^n\mathrm{\Delta }{x}_i\right]\\ \\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left[b–a\right]\\ \\ =& \mathit{b}–\mathit{a}\end{array}$$

于是，${\int }_a^{b}1\mathrm{d}x$ $=$ $b–a$ 得证。

对 ${\int }_a^{b}kf(x)\mathrm{d}x$ $=$ $k{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 的证明

首先，将区间 $[a,b]$ 划分为 $n$ 份，每一份的宽度记为 $\mathrm{\Delta }{x}_i$, 取每一份中横坐标为 $x$ $=$ ${\xi }_i$ 对应的函数值 $f({\xi }_i)$ 为高度，则：

$$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}kf(x)\mathrm{d}x\\ \\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[\sum _{i=1}^{n}kf({\xi }_i)\cdot {\mathrm{\Delta }}_i]\\ \\ =& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[k\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\cdot {\mathrm{\Delta }}_i]\\ \\ =& k\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\cdot {\mathrm{\Delta }}_i]\end{array}$$

根据定积分的定义可知，在区间 $[a,b]$ 上，$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\cdot {\mathrm{\Delta }}_i]$ 就等于 ${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$, 于是：

$$\begin{array}{r}{\int }_a^{b}kf(x)\mathrm{d}x\\ \\ =& k\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}[\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\cdot {\mathrm{\Delta }}_i]\\ \\ =& \mathit{k}{\mathbf{\int }}_{\mathit{a}}^{\mathit{b}}\mathit{f}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{d}\mathit{x}\end{array}$$

于是，${\int }_a^{b}kf(x)\mathrm{d}x$ $=$ $k{\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$ 得证。

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