用定积分的定义证明两个定积分的常用性质

一、题目题目 - 荒原之梦

请证明下面的定积分的性质:

ab1 dx= baabkf(x) dx= kabf(x) dx

难度评级:

二、解析 解析 - 荒原之梦

首先,将区间 [a,b] 划分为 n 份,每一份的宽度记为 Δxi, 每一份的高度则固定为 1, 因此:

ab1 dx=limn[i=1n(1Δxi)]=limn[i=1nΔxi]

由于 i=1nΔxi 表示将 nΔxi 相加,所得的结果也就是区间 [a,b] 的长度,于是:

ab1 dx= limn[i=1nΔxi]= limn[ba]= ba

于是,ab1 dx = ba 得证。

首先,将区间 [a,b] 划分为 n 份,每一份的宽度记为 Δxi, 取每一份中横坐标为 x = ξi 对应的函数值 f(ξi) 为高度,则:

abkf(x) dx= limn[i=1nkf(ξi)Δi]= limn[ki=1nf(ξi)Δi]= klimn[i=1nf(ξi)Δi]

根据定积分的定义可知,在区间 [a,b] 上,limn[i=1nf(ξi)Δi] 就等于 abf(x) dx, 于是:

abkf(x) dx= klimn[i=1nf(ξi)Δi]= kabf(x) dx

于是,abkf(x) dx = kabf(x) dx 得证。


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