用定积分的定义证明两个定积分的常用性质

一、题目

请证明下面的定积分的性质：

$$
\begin{aligned}
\int_{a}^{b} 1 \mathrm{~d} x = & \ b – a \\
\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{~d} x = & \ k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x
\end{aligned}
$$

难度评级：

二、解析

Note

本文中的两个式子的证明都比较简单，因此，本文的主要作用是让同学们熟悉用定积分的定义证明一些积分定理的一般方式。

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对 $\int_{a}^{b} 1 \mathrm{~d} x$ $=$ $b – a$ 的证明

首先，将区间 $[a, b]$ 划分为 $n$ 份，每一份的宽度记为 $\Delta x_{i}$, 每一份的高度则固定为 $1$, 因此：

$$
\begin{aligned}
\int_{a}^{b} 1 \mathrm{~d} x \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{i=1}^{n} \left( 1 \cdot \Delta x_{i} \right) \right] \\ \\
= & \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{i=1}^{n} \Delta x_{i} \right]
\end{aligned}
$$

由于 $\sum_{i=1}^{n} \Delta x_{i}$ 表示将 $n$ 份 $\Delta x_{i}$ 相加，所得的结果也就是区间 $[a, b]$ 的长度，于是：

$$
\begin{aligned}
\int_{a}^{b} 1 \mathrm{~d} x \\ \\
= & \ \lim_{n \to \infty} \left[ \textcolor{pink}{ \sum_{i=1}^{n} \Delta x_{i} } \right] \\ \\
= & \ \lim_{n \to \infty} \left[ \textcolor{pink}{b – a} \right] \\ \\
= & \ \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{ b – a }}
\end{aligned}
$$

于是，$\int_{a}^{b} 1 \mathrm{~d} x$ $=$ $b – a$ 得证。

对 $\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{~d} x$ $=$ $k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x$ 的证明

首先，将区间 $[a, b]$ 划分为 $n$ 份，每一份的宽度记为 $\Delta x_{i}$, 取每一份中横坐标为 $x$ $=$ $\xi_{i}$ 对应的函数值 $f(\xi_{i})$ 为高度，则：

$$
\begin{aligned}
\int_{a}^{b} \textcolor{orangered}{k} f(x) \mathrm{~d} x \\ \\
= & \ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{i=1}^{n} \textcolor{orangered}{k} f(\xi_{i}) \cdot \Delta_{i} \right] \\ \\
= & \ \lim_{n \to \infty} \left[ \textcolor{orangered}{k} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \cdot \Delta_{i} \right] \\ \\
= & \ \textcolor{orangered}{k} \textcolor{yellow}{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \cdot \Delta_{i} \right] }
\end{aligned}
$$

根据定积分的定义可知，在区间 $[a, b]$ 上，$\textcolor{yellow}{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \cdot \Delta_{i} \right] }$ 就等于 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x$, 于是：

$$
\begin{aligned}
\int_{a}^{b} \textcolor{orangered}{k} f(x) \mathrm{~d} x \\ \\
= & \ \textcolor{orangered}{k} \textcolor{yellow}{ \lim_{n \to \infty} \left[ \sum_{i=1}^{n} f(\xi_{i}) \cdot \Delta_{i} \right] } \\ \\
= & \ \textcolor{springgreen}{\boldsymbol{k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x}}
\end{aligned}
$$

于是，$\int_{a}^{b} k f(x) \mathrm{~d} x$ $=$ $k \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{~d} x$ 得证。

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