遇到比较绕的题目，最好的办法就是先将其翻译成纯粹的数学语言

一、题目

已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $\frac{\cos x}{x}$, 则：

$$I=\int x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x$$

难度评级：

二、解析

首先，由“$f(x)$ 的一个原函数为 $\frac{\cos x}{x}$”我们可知：

$$\int f(x)\mathrm{d}x=\frac{\cos x}{x}$$

而不是：

$$f(x)=\frac{\cos x}{x}$$

因为：

$$\begin{array}{r}f(x)\\ \\ =& {[\int f(x)\mathrm{d}x]}^{\prime }\\ \\ =& {\left[\frac{\cos x}{x}\right]}^{\prime }\\ \\ =& \frac{-x\sin x–\cos x}{x^2}\end{array}$$

接着，我们对题目中要求解的式子进行处理，有：

$$\begin{array}{r}I\\ \\ =& \int x{f}^{\prime }(x)\mathrm{d}x\\ \\ =& \int x\mathrm{d}[f(x)]\\ \\ =& xf(x)–\int f(x)\mathrm{d}x\\ \\ =& x\cdot \frac{-x\sin x–\cos x}{x^2}–\frac{\cos x}{x}+C\\ \\ =& \frac{-x\sin x–\cos x}{x}–\frac{\cos x}{x}+C\\ \\ =& \frac{-x\sin x}{x}–2\frac{\cos x}{x}+C\\ \\ =& \mathbf{-}\mathbf{sin}\mathbf{}\mathit{x}–\frac{\mathbf{2}\mathbf{cos}\mathbf{}\mathit{x}}{\mathit{x}}\mathbf{+}\mathit{C}\end{array}$$

其中，$C$ 为任意常数。

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