证明：数字的平均值相乘一定不小于每个数字相乘——小数字在乘法中对大数字的“牵制”程度比减法中严重

一、前言

在本文中，「荒原之梦考研数学」将通过数字在乘法和减法中“牵制”能力的区别，简易地证明下式（数字的平均值相乘大于或等于每个数字相乘）：

$$
\textcolor{yellow}{
\left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} \geqslant x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}
}
$$

为了更便于理解，同学们可以将本文中的“牵制”理解为“拖累”——小数字对大数字的“拖累”效果在乘法中比在减法中变现更突出。

二、正文

本文中使用的有关数字“牵制能力”的思想由「荒原之梦考研数学」独立原创。

首先，较小的数字在乘法运算中对较大的数字的“牵制能力”是成倍的，例如：

$$
\frac{1}{2} \times 2 = 1
$$

在上面这个乘法运算中，较小的数字 $\frac{1}{2}$ 直接让较大的数字 $2$ 减少了一半，变成了 $1$.

但是，在下面的减法运算中，较小的数字 $\frac{1}{2}$ 只让较大的数字 $2$ 减少了 $0.5$ 变成 $1.5$, 很显然，$1.5$ $>$ $1$:

$$
2 – \frac{1}{2} = 1.5
$$

不过，有同学可能会说，如果在上面的运算中，较小的数字是 $1$, 而不是 $\frac{1}{2}$, 乘法的“牵制能力”不就弱于减法了吗？即：

$$
\begin{aligned}
\begin{rcases}
2 \times 1 = 2 & \\
2 – 1 = 1 & \\
\end{rcases} \Rightarrow 2 > 1
\end{aligned}
$$

确实是这样的，但出现上面这种情况的原因是我们在做减法运算的时候，减去的数字太大了。

为什么我们要约束减去的数字的大小呢？因为我们要证明的“数字的平均值相乘一定不小于每个数字相乘”这个定理中存在数字的“平均值”——

同学们可以想一下，其实求平均值的过程，就是在给参与求平均值的数字进行加加减减的过程（加法和减法是同类型的运算）。

而平均值就是就是让各个原本不相等的数字能通过最小范围的加减变动得到的一个相同的值，这个值就是平均值。

关于为什么求平均值的过程中各个数字都是在进行最小范围的加减变动，我们可以考虑如下的思想实验：如果把不同的数字看作一杯正在晃动的水在某个时刻水面相对于杯底的高度（杯底保持水平），那么，求得的平均值其实就是这杯水在稳定下来之后水面相对于杯底的高度。根据物理世界的规律可知，假如在这个过程中，某部分“水”上下移动的高度差不是最优或者说最小的，那么，一定会导致水面不稳定，从而继续引发水面高度差的调整，直至整个水面稳定且水平。

并且，当数字和数字之间相等的时候，乘法对数字的倾向于减小的“牵制能力”就不存在了——此时相乘的数字完全相同，谁也不亏欠谁。

所以，平均值的神奇之处就在于，通过影响最小的加减运算（将减法中小数对大数的牵制能力降到了最低），得到了在乘法运算中小数字对大数字牵制能力最低的多个相同的数字，这是一个确保可以相乘得到最大数字的最优路径。

再回到下面的式子：

$$
\textcolor{yellow}{
\left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} \geqslant x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}
}
$$

我们可以看到，$\frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n}$ 就是 $n$ 个数字的平均值，而 $\left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n}$ 就是这 $n$ 个平均值相乘。

根据我们前面的分析可知，$\left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n}$ 是得到最大数值的最优路径，所得的数值一定不会小于 $x_{1}$ $\times$ $x_{2}$ $\times$ $\cdots$ $\times$ $x_{n}$ 所得的数值，因此，下式得证：

$$
\textcolor{springgreen}{
\boldsymbol{
\left( \frac{x_{1} + x_{2} + \cdots + x_{n}}{n} \right)^{n} \geqslant x_{1} \times x_{2} \times \cdots \times x_{n}
}
}
$$

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