利用逆序求 n 阶行列式的值

一、前言

我们都知道，$3$ 阶行列式是可以利用主副对角线计算出具体数值的，高于 $3$ 阶的 $n$ 阶行列式虽然不能这么计算，但是也有自己的计算公式——借助“逆序”这一工具，我们可以求解任意阶数的行列式的值。

Tips

关于逆序数的计算方法， 可以参考《你知道怎么判断一组数字的逆序数吗？》这篇文章。

二、正文

对于 $n$ 阶行列式：

$$
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|
$$

其值就等于【所有】取自【不同行不同列】的 $\mathrm{n}$ 个元素的【乘积】的【代数和】。

写成具体的公式就是：

$$
\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right|=\sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}(-1)^{\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}}
$$

其中，$j_{1}, j_{2}, \cdots, j_{n}$ 是一组互不相等的数字，来自行列式的列标或者行标（在上面的定义中，$j_{1}, j_{2}, \cdots, j_{n}$ 表示的是行列式的列标），而 $\tau\left(j_{1}, j_{2}, \cdots, j_{n}\right)$ 则表示 $j_{1}, j_{2}, \cdots, j_{n}$ 的逆序数。

注意，在具体计算的时候，如果 $a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}} = 0$, 那么这一项的值是不会对行列式的最终结果产生影响的，因此，在实际使用上面的公式时，我们只需要考虑不等于零的元素即可。

相关例题

1. 你会使用逆序计算这个行列式吗？

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